deje$G$ de un grupo finito, no abeliano. No sé si existe una prueba corta de este hecho:
$$\mathbb{P}(xy = yx) \leq 5/8$ $$x,y$ Se escogen al azar.
Editar: Si es posible, quiero saber si hay una prueba más corta que ésta: 
(En francés lo siento)
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Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Bueno, esta escaneada de la prueba es muy simple. El punto es que para un no-grupo abelian, el centro cuenta con índice de al menos 4, y el centralizador de cualquier no-central tiene índice de al menos 2. Por lo tanto, si $n=|G|$, el número de desplazamientos de los pares es
$$\le |Z(G)||G|+(|G|-|Z(G)|)\frac{|G|}2\le \frac{n}4n+\frac{3n}4\frac{n}2=n^2(1/4+3/8)=\frac58n^2.$$
La prueba proporciona mejoras obvias. Por ejemplo, si un finito no-grupo abelian $G$ tiene orden impar (o, más en general no tiene cociente de orden 2), entonces el centro ha índice de al menos 9, el centralizador de cualquier no-central tiene índice de al menos 3, y por lo tanto el número de desplazamientos de los pares es
$$\le |Z(G)||G|+(|G|-|Z(G)|)\frac{|G|}2\le \frac{n}9n+\frac{8n}9\frac{n}3=n^2(1/9+8/27)=\frac{11}{27}n^2.$$
