¿Por qué exactamente el ámbito de la propiedad distributiva?

Question

Supongamos que tengo esta expresión que necesita ser simplificada:

ps

Se puede simplificarse a esto:

ps

En este caso, esta expresión se ha simplificado hacia abajo usando la propiedad distributiva. Mi pregunta es, ¿cómo funciona exactamente el número, en este caso,$$4(2x + 4)$, se distribuyen a los dos números en los paréntesis? ¿Por qué exactamente el ámbito de la propiedad distributiva?

Answer 1

Echa un vistazo a esta página .

Creo que la imagen no vale más que mil palabras.

Answer 2

Para la mayoría de las personas, el hecho de que el $\text{LHS}$ $\text{RHS}$ pesar de que el mismo es prueba suficiente.
Me alegro de que no te interesa a la gente.

Vamos a ver un ejemplo de la distribución de la multiplicación sobre la adición de números enteros: $$ \begin{align} 3\times\left(\color{red}{1} + \color{blue}{2}\right) &= \color{red}{3} + \color{blue}{6}\\ 3 \times \left(\color{red}{\star}\space\color{blue}{\star\star}\right) &= \begin{array}{cc} \color{red}{\star} &\color{blue}{\star\star} \\ \color{red}{\star} &\color{blue}{\star\star} \\ \color{red}{\star} &\color{blue}{\star\star} \end{array} \end{align} $$

La multiplicación puede elementarilly define como:

$$a\times b = \sum_{i=1}^{a} b $$

Por lo tanto, incluso cuando tenemos $n$ variables, esto todavía se aplica. $$k\times (x_1 + x_2 + \dots + x_n)= k\times\sum_{i = 1}^{n}x_i = \sum_{j = 1}^{k} \sum_{i = 1}^{n}x_i$$

Por lo tanto, dando la ilusión de distribución:

Todo lo que sucede aquí es este:

$$ \begin{align} a\times(b+c) &= (b+c) + (b+c) + (b+c) + \dots \text{a times}\\ &= (b+b+b+\dots \text{a times}) + (c+c+c+\dots \text{a times})\\ &= (a\times b) + (a\times c) \end{align}$$

@MathLove ha utilizado este hecho que se nota en el resultado del ejemplo que has dado.

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Nota: La definición que dio de multiplicación se pone inestable para los no-números enteros. En este caso, la vuelta a la interpretación geométrica de la multiplicación como el Área de un Rectángulo

Answer 3

Fijate que

Answer 4

Yo diría que "la razón" se trabaja es que, al menos cuando se mira sólo los números naturales, la multiplicación es una suma repetida. Ver mathlove la respuesta que utiliza esta definición para tener una idea de cómo funciona. Usted podría generalizar esto a una prueba para $n(a+b)=na+nb$ el uso de la inducción en $n$.

Para ampliar a los enteros, los racionales, los reales, etc. usted quiere mirar cómo la construcción de los números naturales, y ver que la ley distributiva transporta a través de la construcción.