Infinito de no-twin de los números primos.

Question

Bien, todos sabemos que el primer gemelo conjetura. Existen infinitos números primos $p$, de tal manera que $p+2$ es también el primer. Bueno, en realidad me preguntó en un discreto curso de matemáticas, para demostrar que existen infinitos números primos $p$ tal que $p + 2$ NO es primo.

Answer 1

Deje $p\gt 3$ ser primer. Si $p+2$ no es primo, estamos felices. Si $p+2$ es primo, entonces $(p+2)+2$ es no, ya que uno de $x,x+2,x+4$ es divisible por $3$.

Añadido: Dolda2000 señaló que una pregunta más interesante es la de si existen infinitos números primos que no son miembros de un par de gemelas. Para esto podemos usar el hecho de que existen infinitos números primos de la forma $15k\pm 7$. Si $p$ es un número primo, entonces uno de $p-2$ o $p+2$ es divisible por $3$, y el otro es divisible por $5$, por lo que si $p\gt 7$ ni $p-2$ ni $p+2$ es primo.

Answer 2

Suponer lo contrario. Esto significaría que, desde algún punto, todos los números impares son números primos.

Tomar dos lo suficientemente grandes números impares. Multiplicar juntos. El resultado es un número compuesto, que es impar, lo que contradice la hipótesis de que todos lo suficientemente grandes números impares son primos.

Answer 3

Dirichlet del Teorema garantiza la existencia de infinitos números primos de la forma $p = 3n+1$, y para cada uno de estos, $p+2$ es un múltiplo de 3.

Answer 4

Para cualquier entero$x$, $x$ o $x+2$ o $x+4$ es divisible por $3$, por lo que si $p$ es un primer $> 3$, $p$ o $p+2$ es un ejemplo.

Answer 5

Euler demostró que la suma de los recíprocos de los números primos diverge. Brun demostrado que la suma de los recíprocos de los dos primos converge. La suma de los recíprocos de los no-dos primos de la diferencia que debe existir, por lo que hay infinitamente muchos.