De acuerdo a Wikipedia, "por otra parte, las ecuaciones son las condiciones necesarias y suficientes para la diferenciación compleja una vez que asumimos que sus partes real e imaginaria son diferenciables funciones reales de dos variables." Yo siempre he pensado que el C-R ecuaciones sostiene por sí sola no es suficiente para differentability. Usted tendría la continuidad de las derivadas parciales, la derecha? La página de discusión me hizo más confuso.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Greg Case
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La cuestión de las caracterizaciones de analiticidad es bastante interesante, aunque el técnico. En la práctica, es bastante raro estar en un entorno en donde el Cauchy-Riemann ecuaciones de espera y uno no tiene hipótesis de que la garantía de las derivadas parciales sean continuas.
Una buena referencia para este tema es el papel
J. D. Gris, S. A. Morris. "Cuando se trata de una función que satisface la de Cauchy-Riemann ecuaciones analíticas?" Amer. De matemáticas. Mensual de 85 (1978), no. 4, 246-256.
Además el resultado se mencionó en la respuesta por parte del usuario de las 5PM, aquí hay varios resultados indicados en el papel:
La función de $f$ dada por $f(0)=0$, $f(z)=e^{-z^{-4}}$ para $z\ne0$ satisface la de Cauchy-Riemann ecuaciones en todas partes, y no es analítica en $0$. Este es un ejemplo, debido a la Looman.
El Looman-Menchoff teorema nos da una muy general la condición suficiente: Se establece que si las derivadas parciales de $f$ existen en todas partes en un dominio y satisfacer las Cauchy-Riemann ecuaciones, a continuación, $f$ es analítica, siempre que sea continua.
Sin embargo, este no es un pointwise resultado: $f$ dada por $f(0)=0$, $f(z)=z^5/|z|^4$ es continua en todas partes, y cumple con las Cauchy-Riemann ecuaciones en el origen, pero no es analítica.
Uno puede asumir menos que la continuidad de la $f$, pero las condiciones se vuelven mucho más involucrado. Si lo desea puede ver también
Maynard G. Arsove. "En la definición de una analítica de la función" Amer. De matemáticas. Mensual 62 (1955), 22-25.
