Problema alternativo de Monty Hall

Question

Así que la configuración típica para el problema de Monty Hall, hay 3 puertas donde 2 tienen cabras y 1 tiene un coche. Yo, el concursante, consigo adivinar al azar una puerta buscando conseguir la que tiene el coche, después de esto el anfitrión abrirá una puerta que siempre será una cabra. Así de las dos puertas que quedan, tengo que elegir quedarme con la puerta original que elegí o cambiar a la otra puerta. Como se han hecho muchos análisis de este problema, cambiar mi elección me da una mayor probabilidad de ganar. Esto tiene que ver en gran medida con el hecho de que desde que el anfitrión siempre revela una cabra la pregunta de si se queda o no, es lo mismo que si acierta o no, y tiene $\frac{2}{3}$ de mal por lo que debe cambiar

Al parecer, este "extraño" resultado tiene que ver en gran medida con el hecho de que el anfitrión siempre revela una cabra. Pero lo que si alternativamente usted tenía esta situación

Te dan 3 puertas, 2 con una cabra y 1 con un coche. Eliges al azar una puerta (buscando conseguir una con el coche). El el anfitrión elegir al azar para revelar lo que hay detrás de una de las 2 puertas que no has elegido. Teniendo en cuenta que revela la cabra, ¿cuál es la probabilidad de conseguir coche si decide quedarse con la elección?

Mi análisis de este problema es el siguiente:

Dejemos que $D$ ser evento la puerta adiviné tiene coche y Deja $G$ reprsentan el caso de que el anfitrión revela una cabra por lo tanto lo que quiero calcular es $P(D|G)$ con esto tengo $$P(D|G)=\frac{P(D\cap G)}{P(G)}=\frac{P(G|D)P(D)}{P(G|D)P(D)+P(G|D^{c})P(D^{c})}=\frac{1\left(\frac{1}{3}\right)}{1\left(\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)}=\frac{1}{2}$$

Así que parece que no importa si decido cambiar o no, y este es el resultado que se le ocurre a la mayoría de la gente cuando piensa por primera vez en el problema.

Pregunta : Primero, ¿es correcto mi análisis para este problema? Segundo, ¿es cierto en general que si se adivina fuera de $n$ puertas y host revela $k$ puertas que todas tienen cabras, ¿la probabilidad de que el coche esté detrás de la puerta que elijas sólo $\dfrac{1}{n-k}$ ?

ACTUALIZACIÓN

Así que acabé preguntando a mi profesor de estadística/probabilidad sobre esta cuestión y me dijo que el resultado que obtuve era correcto. Me explicó que el razonamiento por el que el problema de Monty Hall causa intrínsecamente confusión es porque muchos no se dan cuenta de que la única aleatoriedad en el problema original está justo en su elección, mientras que la elección de los anfitriones de la puerta es determinista. Ahora el problema que pregunté tiene dos conjuntos de aleatoriedad, su elección original de la puerta y la elección de los anfitriones por lo tanto los problemas son inherentemente diferentes

Answer 1

Su análisis es correcto. Supongamos que hay $n$ puertas, una de las cuales tiene un coche, la otra tiene cabras. El anfitrión elige al azar $k$ puertas y las abre. Usaré su notación, así que $D$ es el caso de que haya elegido el coche y $G$ es el evento que el anfitrión revela $k$ cabras.

Entonces tenemos $$ \mathbb{P}(D|G) = \frac{\mathbb{P}(D \cap G)}{\mathbb{P}(G)} = \frac{\frac{1}{n}}{\frac{n-k}{n}} = \frac{1}{n-k}. $$ Esto se debe a que

• la probabilidad $\mathbb{P}(G)$ que el anfitrión sólo revela las cabras es $\frac{n-k}{n}$ (como es la probabilidad de que el coche esté entre uno de los otros $n-k$ puertas),
• la probabilidad $\mathbb{P}(D \cap G)$ que has elegido el coche y el anfitrión sólo revela la cabra es $\frac{1}{n}$ ya que es la misma que la probabilidad $\mathbb{P}(D)$ que has elegido el coche.

Answer 2

1/2 porque en ese momento sólo quedan 2 opciones y una tiene que ser el coche.

Answer 3

Su análisis de la intuición parece bueno. Creo que tienes razón en que la gente piensa como él. Pero no. No importa el número de cabras reveladas, sus probabilidades de acertar inicialmente son siempre de 1 en $n$ .

Ayuda a imaginar que hay 100 puertas. Y que el anfitrión revela 98 cabras. Es más fácil ver que debe cambiar.