Si lanzas$1000$ monedas justas$10$ veces cada uno, ¿cuál es la probabilidad de los * * algunos de monedas conseguirá$10$ de caras?

Question

La respuesta a esto es supuestamente cerca de $0.63$. Sin embargo, tengo aproximadamente $0.9765625$ por la siguiente razón:

La probabilidad de que una moneda se volcó $N$ veces resultando en todas las cabezas se $1/2^N$. En este caso, $1/2^{10}=1/1024$. Si le doy la vuelta a $M$ monedas, $N$ los tiempos de cada uno, hay $M$ formas para algunas monedas a resultado en todos los jefes (a partir del coeficiente binomial "$M$ elija $1$"), por lo que la probabilidad de que algunos de moneda resultante en todas las cabezas se $M(1/2^N)$. En este caso, $1000\times 1/1024 \approx 0.9765625$.

Por favor alguien puede explicar el error en mi razonamiento?

Answer 1

La probabilidad de que no se obtienen colas cuando se le da la vuelta a la moneda justas$10$ veces es$\left(\frac12\right)^{10}$. Por lo tanto, la probabilidad de que se obtiene al menos una cola es$1-\left(\frac12\right)^{10}$. La probabilidad de que cada uno de los$1000$ monedas sale cruz al menos una vez es luego$$\left(1-\left(\frac12\right)^{10}\right)^{1000}\approx0.37642\;.$$ We want the probability of the complementary event, which is therefore about $ 0,62357 $.

Como nota estimación bruta rápida que$$\left(1-\left(\frac12\right)^{10}\right)^{1000}\approx\left(1-\frac1{1000}\right)^{1000}\approx\frac1e\approx0.37\;.$ $

Answer 2

La falla en tu razonamiento es que es posible que la primera moneda y la décima moneda de llegar a todos los jefes, en cuyo caso, su $1000/1024$ cuenta tanto.

Esencialmente, $1000/1024$ es el promedio de número (o "espera" número) de las monedas que se han llegado a todos los jefes, sino que incluye los casos donde más de una moneda sale cara todo el tiempo, por lo que no funciona como una probabilidad.

Considere el caso donde usted lanza dos monedas una vez cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda terminó cabezas? Su cálculo diría, "La probabilidad de que una moneda y que salga cara es$1/2$, por lo que la probabilidad de que uno de los dos monedas sale cara es $2/2=1$." Que es absurdo. En este caso, la probabilidad es $3/4$.

La real probabilidad de se $$1-\left(\frac{1023}{1024}\right)^{1000}$$

Básicamente, $\left(\frac{1023}{1024}\right)^{1000}$ es la probabilidad de que ninguna de las monedas son los jefes de todos los lanzamientos.

En general, si usted lanza $N$ monedas de cada una de las $M$ veces, las probabilidades de que al menos una de las monedas han llegado a todos los jefes es:

$$1-\left(1-\frac{1}{2^M}\right)^N$$

Answer 3

Para calcular esto, es más fácil tratar con el complemento, es decir, lo que la probabilidad de que la moneda no tendrá 10 cabezas. Probabilidad de que una moneda no tendrá 10 cabezas es$1-2^{-10}$, por lo que el resultado a su pregunta es$1-(1-2^{-10})^{1000} \approx 0.6235762$, los datos más precisos se puede encontrar aquí .

Answer 4

También puede analizar esto como un ejemplo de una distribución binomial, que la probabilidad de éxito$p = 1/2^{10}$. La probabilidad de que ninguna de las monedas que son todas las cabezas se

ps

y la probabilidad de que se trata es sólo$$ P' = \binom{1000}{0} p^0 (1-p)^{1000} $, lo que da los resultados mencionados anteriormente.