Mostrar que $\sum \frac{z^n}{n}$ diverge si $z = 1$ pero en otro caso converge si $|z|=1$.

Question

Hola: Estoy leyendo el libro de John D'Angelo "Una introducción al análisis complejo y geometría" y estoy tratando (énfasis en tratando) de trabajar en los ejercicios del Capítulo 4. Ya estoy atascado solo en el segundo. La pregunta es:

Demuestre que $\sum \frac{z^{n}}{n} $ diverge si $z = 1$ pero converge si $|z| = 1$.

Creo que puedo tener problemas con cada uno de los ejercicios y hay 13 más. Entonces, si alguien conoce un manual de soluciones existente para el texto, por favor avíseme. No soy estudiante, así que solo estoy tratando de aprender esto por mi cuenta. De lo contrario, seguiré intentando uno al día y publicando en esta lista cuando me atore. Muchas gracias.

Answer 1

Pista: El test de Dirichlet fue mencionado en los comentarios. Ten en cuenta que $1 + z + z^2 + \ldots + z^N = (z^{N+1} - 1)/(z-1)$, y que $z \neq 1$ tiene magnitud 1.

Answer 2

Puedes usar el test complejo de Abel (una generalización del test de Abel). Este dice que si $$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n z^{n} $$ converge cuando $|z|<1$ y diverge cuando $|z|>1$, entonces cuando $a_n$ disminuye monótonamente hacia cero, la serie converge en $|z|=1$ en todas partes excepto en $z=1$