producto de tensor y el álgebra exterior

Question

Quiero mostrar que no hay una única $R$-módulo de isomorfismo $M\otimes_{R}N\cong N\otimes_{R}M$, que envía a $m\otimes n $$n\otimes m$. Mi idea es mostrar el mapa es inyectiva y, a continuación, cómo mostrar su singularidad?

La segunda cuestión es que $R$ es una parte integral de dominio y $F$ su fracción de campo, considere la posibilidad de $F$ $R$- módulo. Mostrar que $\bigwedge^{2}F=0$.

También, estoy confundido acerca de las propiedades universales cuando aprendo el producto tensor y exterior de álgebra, ¿alguien puede darme un ejemplo de cómo calcular el exterior de álgebra?

Aquí está otra pregunta, el contable, producto directo de la Z no es libre. Puede alguien darme alguna pista acerca de cómo probar esto?

Answer 1

Para el primer problema: como Pablo sugiere, desea utilizar la característica universal para el tensor de productos. Definir un mapa de $M\times N\to N\otimes M$$(m,n)\mapsto n\otimes m$. Desde este mapa es bilineal, hay un único homomorphism $\varphi\colon M\otimes N\to N\otimes M$ tal que $m\otimes n\mapsto n\otimes m$. Esto es exactamente lo que la característica universal del tensor de productos que ofrece. Por supuesto, esto sólo se da que el mapa de $\varphi\colon M\otimes N\to N\otimes M$ es un homomorphism, no necesariamente es un isomorfismo. Pablo entonces se sugiere hacer lo mismo en la dirección opuesta: de igual manera definir un mapa de $\psi\colon N\otimes M\to M\otimes N$, de nuevo mediante el uso de la característica universal. Ahora se puede comprobar que $\varphi$ $\psi$ son inversos.

Para el segundo problema: basta comprobar que $x\wedge y = 0$ todos los $x,y\in F$. Si $x = a/b$$y = c/d$$a,b,c,d\in R$, luego $$x\wedge y = \frac{a}{b}\wedge\frac{c}{d} = \frac{ad}{bd}\wedge\frac{cb}{bd}.$$ Since one can move scalars in $R$ across the wedge, this is equal to $$\frac{cb}{bd}\wedge\frac{ad}{bd} = \frac{c}{d}\wedge\frac{a}{b} = y\wedge x.$$ On the other hand, $x\wedge y = -(y\wedge x)$. The only way $x\wedge y = y\wedge x$ and $x\wedge y = -y\wedge x$ is if $x\wedge y = 0$. (Here I'm assuming the characteristic of $R$ is not $2$).