Probar que no hay elemento de orden 6 en un simple grupo de orden 168

Question

Deje $G$ ser un simple grupo de orden 168. Deje $n_p$ el número de Sylow $p$ subgrupos en $G$.

Ya he demostrado: $n_7 = 8$, $n_3 = 28$, $n_2 \in \left\{7, 21 \right\}$

Necesita mostrar: $n_2 = 21$ (de mostrar que no hay ningún elemento de orden 6 En $G$ es suficiente)

Intento hasta ahora: Si $P$ es un Sylow-2 subgrupo de $G$, $|P| = 8$. Supongamos por contradicción que $n_2 = 7$. A continuación, el normalizador $N(P)$ tiene orden de 24. Deje $k_p$ el número de Sylow-$p$ subgrupos en $N(P)$. A continuación,$k_3 \in \left\{1,4 \right\}$$k_2 \in \left\{1,3 \right\}$. Luego me mostró $k_3 = 4, k_2 = 1$. Contando argumento muestra que existe un elemento de orden 6 en $N(P)$, y por lo tanto en $G$.

No sé cómo continuar a partir de aquí.

Me dice que no puede ser un elemento de orden 6 en $G$, pero no sé cómo demostrarlo, si alguien me pudiera ayudar probar esto yo aprecio mucho. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Si hay un elemento de orden 6, que centraliza la Sylow $3$-subgrupo $P_3$ generado por su plaza. Ya ha demostrado que $|N(P_3)|=168/n_3=6$. Por lo tanto, el normalizador de cualquier Sylow $3$-subgrupo tendría que ser cíclico de orden 6, y un elemento de orden 6 pertenece a exactamente uno de esos normalizador. Así que su grupo le ha $56=2\cdot n_3$ elementos de orden $3$, $56=2\cdot n_3$ elementos de orden $6$, $48=6\cdot n_7$ elementos de orden $7$, y por lo tanto sólo ocho de los otros elementos. Los ocho tendría que formar un Sylow $2$-subgrupo, y que sería la única, así que...