Puede epsilon ser una matriz?

Question

Pregunta

En la siguiente expresión puede $\epsilon$ ser una matriz?

$$ (H + \epsilon H_1) ( |m\rangle +\epsilon|m_1\rangle + \epsilon^2 |m_2\rangle + \dots) = (E |m\rangle + \epsilon E|m_1\rangle + \epsilon^2 E_2 |m_2\rangle + \dots) ( |m\rangle +\epsilon|m_1\rangle + \epsilon^2 |m_2\rangle + \dots) $$

De fondo

Así, en la mecánica cuántica nos tienen, generalmente, una solución de $|m\rangle$ a un Hamiltoniano:

$$ H | m\rangle = E |m\rangle $$

Ahora usando la teoría de la perturbación:

$$ (H + \epsilon H_1) ( |m\rangle +\epsilon|m_1\rangle + \epsilon^2 |m_2\rangle + \dots) = (E |m\rangle + \epsilon E|m_1\rangle + \epsilon^2 E_2 |m_2\rangle + \dots) ( |m\rangle +\epsilon|m_1\rangle + \epsilon^2 |m_2\rangle + \dots) $$

Tenía curiosidad y sustituido $\epsilon$ como una matriz:

$$ \epsilon = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right) $$

donde $\epsilon$ ahora, es el nilpotent matriz, obtenemos:

$$ \left( \begin{array}{cc} H | m \rangle & 0 \\ H_1 |m_1 \rangle + H | m\rangle & H |m_1 \rangle \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} E | m \rangle & 0 \\ E_1 |m_1 \rangle + E | m\rangle & E |m_1 \rangle \end{array} \right)$$

Que es lo que nos esperaría si comparamos los poderes de $\epsilon$'s. Todo esto me hizo preguntarme si $\epsilon$ podría ser una matriz? Decir algo como $| m_k\rangle \langle m_k |$ ? Dicen que elegimos $\epsilon \to \hat I \epsilon$

entonces existe un radio de convergencia. ¿Cuál es el radio de convergencia en un caso general de cualquier matriz?

Answer 1

Yo diría que no hay nada que no le permite utilizar una matriz como la perturbación de una ecuación matricial, siempre y cuando usted deja que el límite de la norma convergen a$0$.

Answer 2

$\epsilon$ No se utiliza generalmente como una matriz. Cuando se necesitan matrices, como se dará cuenta de su ejemplo, épsilon normalmente se establece al lado de las matrices de interés como escalar que indica que uno es infinitesimalmente cerca del origen (o cero) en cualquier espacio buscas ser perturbadora.