Demuéstralo por inducción matemática: $\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{n^2}>1$

Question

¿Podría alguien ayudarme comprobando esta solución y quizás dándome una más limpia?

Demuéstralo por inducción matemática: $$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{n^2}>1; n\geq2$$ .

Así que después de comprobar los casos especiales para $n=2,3$ tengo que demostrar que la desigualdad dada se cumple para $n+1$ utilizando el $n$ caso. Ok, esto es lo que tengo por ahora:

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2+1}+\dots+\frac{1}{(n+1)^2}\overset{?}{>}1$$

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2+1}+\dots+\frac{1}{n^2+2n+1}\overset{?}{>}1$$

$$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2+1}+\dots+\frac{1}{n^2+2n+1}\overset{?}{>}1+\frac{1}{n}$$

Desde el $n$ caso lo sabemos:

$$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2+1}+\dots+\frac{1}{n^2+2n+1}>1+\frac{1}{n^2+1}+\dots+\frac{1}{n^2+2n+1}$$

Así que básicamente tenemos que demostrarlo:

$$1+\frac{1}{n^2+1}+\dots+\frac{1}{n^2+2n+1}\overset{?}{>}1+\frac{1}{n}$$

$$\frac{1}{n^2+1}+\dots+\frac{1}{n^2+2n+1}\overset{?}{>}\frac{1}{n}$$

Desde

$$n^2+1<n^2+2<\dots<n^2+2n+1<2n^2+n$$ pour $n\geq2$ entonces también:

$$\frac{1}{n^2+1}>\frac{1}{2n^2+n}$$ $$\frac{1}{n^2+2}>\frac{1}{2n^2+n}$$ . . $$\frac{1}{n^2+2n+1}>\frac{1}{2n^2+n}$$

entonces tenemos:

$$\frac{1}{n^2+1}+\dots+\frac{1}{n^2+2n+1}>\frac{1}{2n^2+n}+\dots+\frac{1}{2n^2+n}=(2n+1)\frac{1}{2n^2+n}=\frac{1}{n}$$

Answer 1

Su argumento está bien y se presenta con bastante claridad. Sin embargo, puede acortar considerablemente la presentación haciendo algo como esto:

Para $n\ge 2$ deje $a_n=\sum_{k=n}^{n^2}\frac1k$ . Desde $a_2=\frac12+\frac13+\frac14>1$ basta con demostrar que $a_{n+1}\ge a_n$ pour $n\ge 2$ . Desde $n^2+2n+1<2n^2+n$ pour $n\ge 2$ tenemos

$$a_{n+1}-a_n=\sum_{k=1}^{2n+1}\frac1{n^2+k}-\frac1n\ge\sum_{k=1}^{2n+1}\frac1{2n^2+n}-\frac1n=\frac{2n+1}{2n^2+n}-\frac1n=0\;,$$

así que $a_{n+1}\ge a_n$ y el resultado se obtiene por inducción.

Answer 2

Si acepta una prueba sin inducción, aquí hay una: \begin{align*} \frac 1n+\Bigl(\frac 1{n+1}+\dots+ \frac1{n^2}\Bigr)>\frac 1n +(n^2-n)\cdot\frac 1{n^2}=\frac 1n+1-\frac1n=1. \end{align*} Este cálculo es válido si $n^2>n$ es decir, si n>1.

Answer 3

En caso de que desee un enfoque diferente, aquí tiene uno:

Los rectángulos rojos representan la suma $S_n=\frac 1n+...+\frac 1{n^2}$ . Arriba está para $n=2$ pero el principio es general. De la figura se deduce inmediatamente que $$ \int_n^{n^2}\frac 1x\ dx=\ln(n)<\frac 1n+\frac1{n+1}+...+\frac1{n^2} $$ y para $n>e$ esto implica $S_n>1$ .

Answer 4

Tu razonamiento es un poco exagerado en las sumas, así que aquí va una simplificación aunque parece que es básicamente lo mismo. Define $F(n)=\sum_{k=n}^{n^2}\frac{1}{k}$ . Entonces

$$F(n+1)=F(n)-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2+1}+\cdots +\frac{1}{n^2+2n+1}.$$

Por la hipótesis de inducción, $F(n)>1$ . Así que basta con demostrar:

$$\frac{1}{n^2+1}+\cdots +\frac{1}{n^2+2n+1}-\frac{1}{n}>0,$$

que es equivalente a:

$$\frac{1}{n^2+1}+\cdots +\frac{1}{n^2+2n+1}>\frac{1}{n}.$$

Existen $2n+1$ en el lado izquierdo, por lo que

$$\frac{1}{n^2+1}+\cdots +\frac{1}{n^2+2n+1}\geq \frac{2n+1}{n^2+2n+1}=\frac{2n+1}{(n+1)^2}.$$

Ahora solo muestra $(2n+1)/(n+1)^2 > 1/n$ por multiplicación cruzada.

Answer 5

He aquí una solución alternativa. Queremos demostrar $$ \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{n^2}>1 $$ O, lo que es lo mismo, que $$ \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{n^2}}{n^2 - n + 1}>\frac{1}{n^2 - n + 1} $$ donde el lado izquierdo es la media aritmética de todas las fracciones. Sabemos que la media aritmética es mayor que la media armónica (igualdad sólo cuando todos los términos son iguales, lo que no es el caso ya que $n \geq 2$ ): $$ \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{n^2}}{n^2 - n + 1} > \frac{n^2 - n + 1}{n + (n+1) + \cdots + n^2}\\ = \frac{n^2 - n + 1}{\frac{n + n^2}{2}(n^2 - n + 1)} = \frac{2}{n^2 + n} $$ y la prueba se completa observando que tenemos $$ n^2 - 3n + 2 \geq 0\\ 2n^2 - 2n + 2 \geq n^2 + n\\ 2(n^2 - n + 1) \geq n^2 + n\\ \frac{2}{n^2 + n} \geq \frac1{n^2 - n + 1} $$