exhibición

Question

Estoy teniendo un problema con mostrar que:$$\arctan(\frac{2}{3}) = \frac{1}{2} \arctan(\frac{12}{5})$ $

Que iba a necesitar un poco de ayuda en la dirección correcta

Answer 1

$(3+2i)^2=5+12i$, asi que $\arctan\frac23+\arctan\frac23=\arctan\frac{12}{5}$.

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Por otra parte, el estudio de este diagrama:

Answer 2

Desde el artículo$240,$ Ex$-5$ de avión trigonometría (por Loney) ,

ps

ps

Aquí $$\arctan x+\arctan y=\begin{cases} \arctan\frac{x+y}{1-xy} &\mbox{if } xy<1\\ \pi+\arctan\frac{x+y}{1-xy} & \mbox{if } xy>1\end{cases} $

Answer 3

Hay un bonito geométricas manera de mostrar que. Su declaración puede ser mostrada con el teorema de la bisectriz (http://en.wikipedia.org/wiki/Angle_bisector_theorem)... Marque la imagen

Lo siento, pero yo rápidamente se han dibujado. Ahora su problema es equivalente a decir que el $\arctan(\frac{2}{3}) = \alpha$ desde $\beta = \arctan(\frac{12}{5})$. Por el teorema de la bisectriz es cierto que $$ \frac{BC}{CD} = \frac{5}{13} $$ ahora sabemos que $BC+CD=12$ y la solución de las dos ecuaciones encontramos que $BC=10/3$ que es exactamente equivalente diciendo: $$ \arctan(\alpha) = \frac{2}{3} $$ eso es exactamente lo que queríamos demostrar.

Esto fue muy divertido ;-)

Answer 4

El concepto básico de la trigonometría inversa es el siguiente - Arctan es el mismo que tan ^ -1 con en los valores especificados.

moreno ^ -1 x tan ^ -1 y = tan ^ -1 (x y / 1-xy) si xy <π 1 tan ^ -1 (x y / 1-xy) si xy> 1 y x> 0 yy> 0 -π tan ^ -1 (x y / 1-xy) si xy> 1 y x <0 ey

Este concepto va a resolver su demostración anterior, poniendo inmediatamente el valor dado de x.