Momentáneamente estoy estudiando grupo de unidades, y esta pregunta parece un poco extraña. ¿Cómo podría solucionar $x^x \equiv x \pmod{17}$?
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Lubin
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¿Qué es $x$ aquí? Ya que no tiene sentido poner una clase de congruencia modulo $17$ a un exponente cuando estamos trabajando en el ring $\Bbb Z/17\Bbb Z$, me parece que $x$ debe ser un número entero, es decir, en $\Bbb Z$.
Para los números enteros no negativos $x$ y $n$, $x^n$ es siempre definida, excepto en el caso de que ambos sean iguales a cero. Así, por ejemplo, si $x$ es positivo y divisible por $17$, siempre tenemos $x^x\equiv x\pmod{17}$. Del mismo modo, la congruencia tiene al $x\equiv1\pmod{17}$, incluso para valores negativos de $x$.
Más interesante es el caso de la $x\equiv2\pmod{17}$. A continuación, el orden multiplicativo de a $2$ es de ocho, por lo que hemos soluciones siempre que también se $x\equiv1\pmod8$. Como $x=121$, y se ve que $x\equiv121\pmod{136}$ describe todo este tipo de soluciones, desde la $136=17\cdot8$.
Y así sigue. Hay una solución a $x^x\equiv x\pmod{17}$ por cada posible congruencia de las $x$ modulo $17$, y cuántos hay depende de la multiplicación el orden de $x$ modulo $17$.
runeh
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Me gustaría utilizar el equivalente finito de los logaritmos, de la siguiente manera:
Para $x\neq 0$ deje $x=r^n$ donde $r$ es una raíz primitiva módulo $17$, (por lo $r^{16}=1$). Entonces usted tiene $r^{nx}=r^n$$nx \equiv n \bmod 16$.
Ahora $n=0$ es una solución de la congruencia, con $x=1$ y este es compatible con $x=r^n$.
No fue un descuido de error en el original. Siempre es mejor multiplicar en lugar de dividir ...
Correctamente, tenemos $n(x-1)\equiv 0 \bmod 16$
$x=1$ va a hacer y lo hemos hecho.
De lo contrario, necesitamos $n$ incluso. Ahora fijar una raíz primitiva - $3$ va a hacer. Incluso los poderes de $3$ dar (teniendo en cuenta que $x$ se reduce el modulo $17$) $n=2, x=9$; $n=4, x=13$; $n=6, x=15$; $n=8, x=16$; $n=10, x=8$; $n=12, x=4$; $n=14, x=2$
Sólo $x=9$ $x=13$ resolver la congruencia de mod $16$.
