¿Hasta dónde se puede abrir un segmento circular?

Question

Corta un círculo en un segmento y ábrelo. ¿Hasta dónde puede llegar?

He construido esto en MS Paint y parece que la respuesta es siempre 180 grados. Sin embargo, no puedo estar seguro de que las dos piezas no se aplasten entre sí.

Me gustaría tener una prueba más concreta. Creo que el ángulo máximo será donde el segmento y la curva original sean tangentes, pero tampoco estoy seguro de ello.

Así es como lo estoy pensando: La bisagra perfecta no entra en contacto con nada. Por tanto, puede girar 360 grados siempre que las "palancas" no choquen entre sí. Una línea tangente sólo tiene un punto de contacto. Por lo tanto, para detener la parte que gira, alguna otra parte de la pieza tiene que entrar en contacto con alguna otra parte del círculo original.

¿La respuesta dependerá de la longitud de la cuerda? Si es así, entonces tenemos que obtener una respuesta en términos de relación cuerda/diámetro.

Answer 1

Buena observación e investigación.

Suponiendo que se tiene una bisagra "perfecta", que oscila sobre un punto y no se deforma en modo alguno, si se considera la línea tangente (en la bisagra cerrada) se llega a la respuesta. Si giramos la parte superior de la línea tangente junto con el segmento, vemos que puede girar 180° y entonces las dos partes de la línea tangente se tocan, más allá de cuyo punto obtendríamos la superposición de los segmentos. Como el círculo está completamente a un lado de la tangente, no hay solapamiento antes de ese ángulo.

Supongamos que la bisagra gira un pequeño ángulo $\delta$ más de $180°$ . Entonces las porciones del círculo inmediatamente adyacentes a la bisagra se solaparán ya que el arco de la "tapa" comenzará hacia atrás desde la bisagra en un ángulo de $\delta$ dentro del arco del "cuerpo" que lleva a la bisagra. Así que $180°$ es también la rotación máxima.

Answer 2

$\alpha+ \beta $ siempre $180^0$ en tu boceto. El ángulo entre la línea del segmento era cero, se convirtió en $180^0$ en estado completamente abierto cuando las tangentes entran en contacto.

EDITAR1

El segmento menor podría perfectamente girar más allá de 180 grados geométricamente y tener puntos de intersección por debajo. Es un tapón abatible experiencia de diseño que no podemos abrir más allá de un punto, ya que el propio cuerpo de la botella se interpone en el camino. Tampoco es necesario. Si no, para comprobar la situación, coge un disco de plástico fino y córtalo en dos segmentos, uno mayor y otro menor, dejando un pequeño punto para abrirlo hacia fuera. El material que supusiste que existía (pero no declaraste que fuera físico, sino sólo geométrico) impide que siga girando en sentido contrario al de la bisagra. A menos que la parte sólida tenía una capacidad fantasma de permitir una mayor rotación de interferencia todo fuera..