Teorema de la dimensión de espacio del vector comparado con fórmula de producto de subconjuntos de grupo

Question

Me preguntaba si hay una generalización que a partir de ella los siguientes teoremas será el resultado. Parece que deben estar relacionados con el rango de la abelian grupo subyacente del espacio vectorial, pero soy incapaz formulado nada de este tipo. Cualquier iluminación? Tal vez generalizaciones a partir de la categoría de la teoría?...

El teorema de la dimensión de los espacios vectoriales: $$U,W\subconjunto de V \rightarrow \dim(U+W) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U\cap W)$$

La cardinalidad de los grupos de subconjuntos del producto: $$H,N\subconjunto G \rightarrow |HN| = \frac{|H||N|}{H\cap N}$$

Que se convierten en aún más si se denota el grupo de producto + y aplicar el registro: $$\log|H+N| = \log|H| + \log|N| - \log|H\cap N|$$

Entiendo que básicamente están relacionados a través de la propiedad de conjunto de conjuntos, pero deben estar relacionadas más que eso (y el extendido de la Inclusión-Exclusión de la fórmula para la probabilidad etc.) $$|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|$$

Answer 1

En primer lugar, echemos un vistazo a lo que exactamente estos hechos siga. El segundo teorema de isomorfismo de módulos y grupos implica $$\frac{U+W}{W}\cong \frac{U}{U\cap W}\quad\text{and}\quad \frac{HN}{N}\cong\frac{H}{H\cap N}$$ respectivamente. Ahora, aplicando el hecho de que la dimensión y el orden de los grupos satisfacer: $$\dim(V/W)+\dim(W) = \dim(V)\quad\text{and}\quad |G/K|\cdot|K| = |G|$$ le da las anteriores igualdades. Así que en realidad usted está buscando para las abstracciones de segundo teorema de isomorfismo, y orden/dimensión.

Álgebra Universal da un marco general para la discusión de los teoremas de isomorfismo. Aquí están algunas definiciones:

• Un álgebra es un conjunto $A$ equipada con operaciones en $A$ (mapas de $\mu:A^k\to A$ algunos $k\geq 1$)
• Un homomorphism entre álgebras de este mismo tipo es un mapa de los conjuntos de $f:A\to B$ que preserva las operaciones en $A$ $B$ (ver aquí).
• Una congruencia $\Phi$ en un alebgra $A$ es una relación de equivalencia que forma una subalgebra de $A\times A$ donde $A\times A$ es dado el componente sabio álgebra estructura. A partir de aquí, se puede dar el cociente set $A/\Phi$ la misma estructura de álgebra, como lo hacemos con los grupos, anillos, módulos, etc.

Usted puede encontrar todo esto en esta página. Entonces tenemos la siguiente generalización del segundo teorema de isomorfismo:

Deje $A$ ser un álgebra con subalgebra $B$, y deje $\Phi$ ser una congruencia en $A$. Definir $$\Phi_B:=\Phi\cap B\times B\quad\text{and}\quad [B]^{\Phi}:=\{X\in A/\Phi\ |\ X\cap B\neq\varnothing\}.$$ A continuación, $\Phi_B$ es una congruencia en $B$, $[B]^{\Phi}$ es una subalgebra de $A/\Phi$, e $B/\Phi_B\cong [B]^{\Phi}$.

Ahora, para obtener algún tipo de inclusión-exclusión como los que tiene por encima, usted necesitaría un isomorfismo invariante número $|\cdot|$ a asociar con el álgebra, la cual también es aditivo (como espacios vectoriales) o multiplicativo (como los grupos). Esto le daría la igualdad de $|B/\Phi_B| = |[B]^{\Phi}|$, que generaliza los dos anteriores.

Answer 2

Aquí son dos las perspectivas de otros, para complementar C. la respuesta de Caín.

La conexión de la dimensión teorema de grupos a través de los logaritmos:

Espacios vectoriales son, en particular, abelian grupos. Y finito dimensionales espacios vectoriales sobre campos finitos son finitos grupos. De hecho, si $V$ es un espacio vectorial sobre$\mathbb{F}_q$,$|V| = q^{\dim(V)}$. Así, en el caso especial de $\mathbb{F}_q$-espacios vectoriales, el grupo de la fórmula de lee $$q^{\dim(V+W)} = \frac{q^{\dim(V)}q^{\dim(W)}}{q^{\dim(V\cap W)}} = q^{\dim(V)+\dim(W) - \dim(V\cap W)}.$$ Este es un lugar explícito instancia de la conexión con los registros (base $q$, aquí) que se dio cuenta.

La conexión de la dimensión teorema de inclusión-exclusión:

Hay una teoría general de los objetos de apoyo a las nociones de dimensión y de la independencia, llamado pregometries por modelo teóricos (como yo), y matroids por la mayoría de la gente.

Dos ejemplos canónicos de pregeometries son

1. Espacios vectoriales, en los que el cierre operador es $\text{cl}(A) = \text{Span}(A)$ y la dimensión de un conjunto es la dimensión lineal de su cierre. Por supuesto, la dimensión teorema $\dim(X\cup Y) = \dim(X) + \dim(Y) - \dim(X\cap Y)$ siempre se mantiene en un espacio vectorial.
2. Conjuntos, en los que el cierre operador es trivial: $\text{cl}(A) = A$ y la dimensión es de cardinalidad: $\text{dim}(A) = |A|$. En un conjunto, la dimensión teorema es sólo la inclusión-exclusión en el principio, así que de nuevo se sostiene siempre.

No todos los pregeometry satisface el teorema de la dimensión - los que lo hacen son llamados modular. Un ejemplo canónico de un nonmodular pregeometry es un gran algebraicamente cerrado de campo, con el cierre se algebraicas cierre y la dimensión de la trascendencia de grado.