$K_0$ de un esquema no separado

Question

Esta pregunta es sobre "informática" el grupo de Grothendieck de la proyectiva $n$-espacio con $m$ orígenes ($m\geq 1$). Para cualquier (noetherian) esquema de $X$, vamos a $K_0(X)$ ser el grupo de Grothendieck coherente poleas en $X$.

En primer lugar, permítanme esbozar que $K_0(\mathbf{P}^n) \cong K_0(\mathbf{P}^{n-1})\oplus K_0(\mathbf{A}^n)$.

Deje $X=\mathbf{P}^n$ ser el proyectiva $n$-espacio.

(Omito la escritura de la base de esquema en el subíndice. De hecho, usted puede tomar cualquier noetherian esquema como base el esquema en la siguiente, creo.)

Deje $H\cong \mathbf{P}^{n-1}$ ser un hyperplane con complementan $U\cong \mathbf{A}^n$. Por un conocido teorema de Grothendieck grupos, tenemos una breve secuencia exacta de abelian grupos $$K_0(H) \rightarrow K_0(X) \rightarrow K_0(U) \rightarrow 0.$$ Now, let $i:H\longrightarrow X$ be the closed immersion. Then the first map in the above sequence is given by the "extension by zero", which in this case is just the K-theoretic push-forward $i_!$, or even better, just the direct image functor $i_\ast$. Now, there is a projection map $\pi:X\longrightarrow H$ such that $\pi\circ i = \textrm{id}_{H}$.

Por functoriality de empuje hacia adelante, llegamos a la conclusión de que $\pi_! \circ i_\ast = \pi_! \circ i_! = \textrm{id}_{K_0(H)}$.

Por lo tanto, se puede concluir que la $i_\ast$ es inyectiva y que tenemos una división exacta de la secuencia $$0 \rightarrow K_0(H) \rightarrow K_0(X) \rightarrow K_0(U) \rightarrow 0.$$ Thus, we have that $K_0(\mathbf{P}^n) \cong K_0(\mathbf{P}^{n-1})\oplus K_0(\mathbf{A}^n)$.

Q1: Vamos a $\mathbf{P}^{n,m}$ ser el proyectiva $n$-espacio con $m$ orígenes ($m\geq 1$). Por ejemplo, $\mathbf{P}^{n,1} = \mathbf{P}^n$. (De nuevo la base del esquema puede ser cualquier cosa, creo.) Ahora, es cierto que $$K_0(\mathbf{P}^{n,m}) \cong K_0(\mathbf{P}^{n-1,m}) \oplus K_0(\mathbf{A}^n)?$$

Idea1: Tomar un hyperplane $H$$\mathbf{P}^{n,m}$. Es cierto que $H\cong \mathbf{P}^{n-1,m}$ y que su complemento es $\mathbf{A}^n$? También, aunque las combinaciones no están separados, el cierre de la inmersión $i:H\longrightarrow \mathbf{P}^{n,m}$ es correcto, ¿verdad? También, es la proyección de la $\pi:\mathbf{P}^{n,m}\rightarrow H$ apropiado? Si sí, el anterior razonamiento se aplica. Si no, ¿cómo se puede "arreglar" el anterior razonamiento? Yo creo que en este caso uno podría tener sentido del $i_!$ $\pi_!$ (incluso si no son adecuados los mapas.)

Idea2: tal vez es más fácil demostrar que $K_0(\mathbf{P}^{n,m}) \cong K_0(\mathbf{P}^{n-1})\oplus K_0(\mathbf{A}^{n,m})$ donde $\mathbf{A}^{n,m}$ es afín $n$-espacio con $m$ orígenes. A continuación, se reduce al cálculo de $K_0(\mathbf{A}^{n,m})$...

Idea3: Uno puede tomar las $m=2$ como un punto de partida del caso y mirar el complemento de uno de los orígenes. Entonces tenemos una similar de la secuencia exacta como en el anterior y uno podría razón de allí.

Cuál de estas ideas no se aplican y que hacer?

Nota: Suponga que la base del sistema es un campo. Desde $K_0(\mathbf{A}^n) \cong \mathbf{Z}$$K_0(\mathbf{P}^n) \cong \mathbf{Z}^{n+1}$, esto demuestra que $$K_0(\mathbf{P}^{n,m}) \cong \mathbf{Z}^{n+m}.$$ More generally, if $S$ is the base scheme, $K_0(\mathbf{P}^{n,m}) \cong K_0(S)^{n+m}$.

Answer 1

Esta es exactamente la clase de ejemplo donde es relevante la versión de K-teoría se están empleando. (En particular, que los teoremas se puede emplear aquí depende de esto!) La cuestión aquí es un poco más sutil.

Para ilustrar esto, vamos a restringir la atención el caso de los afín $n$espacio $X$ con un doble origen ($n\geq 2$). (Una iteración de la discusión a continuación, combinado con su localización argumento en Idea2, te permitirá dirección general de multiplicar-surgió espacios proyectivos.) Por comodidad, me permiten suponer que la base es un habitual noetherian esquema de $S$.

Permítanme en primer lugar responder a su pregunta como se le pidió. Quillen la secuencia de localización da de fibra de secuencias de espectros o espacios

$$G(S)\to G(\mathbf{A}_S^n)\to G(\mathbf{A}_S^n-\{0\})$$

y

$$G(S)\to G(X)\to G(\mathbf{A}_S^n)$$

Aquí estoy usando $G$-teoría es la $K$-teoría del espectro (o espacio) coherente de las poleas. Este tiene la propiedad de que $G(S)\simeq G(\mathbf{A}_S^n)$. Poner esto juntos, vemos que

$$G(X)\simeq G(\mathbf{A}_S^n)\times G(S)\simeq G(S)\times G(S)$$

Esto contesta a tu pregunta para $G$-teoría; en particular, $\pi_0$ $G$ es el grupo de Grothendieck que buscas, y así llegamos a la conclusión de que $G_0(X)=G_0(S)\oplus G_0(S)$. Ahora use su localización argumentos para conseguir ese $G_0(\mathbf{P}^{n,2})$ $n+2$ copias de $G_0(S)$.

Sin embargo: para $K$-teoría, la forma en que este cálculo se hace depende críticamente de que el modelo de $K$ utiliza.

(A) Si definimos $K$-la teoría como en Thomason-Trobaugh (como el Waldhausen $K$-teoría espectro de perfecto complejos), entonces en este caso $K(X)\simeq G(X)$$K(S)\simeq G(S)$. (Esto se deduce de la "Dualidad de Poincaré;" al final de la sección 3 de Thomason-Trobaugh.)

(B) sin embargo, Si definimos $K^{\mathrm{naive}}(X)$ como el Quillen $K$-teoría de la categoría de algebraica de vectores bultos en $X$, entonces las cosas se ven diferentes. [N. B. que este es el nombre dado por Grothendieck, Illusie, et al. en SGA 6. No está destinado a ser un insulto!] De hecho, la inclusión de $\mathbf{A}_S^n\to X$ induce una equivalencia entre el catgories algebraico de vector de paquetes en $X$, y los en $\mathbf{A}_S^n$, desde el origen ha codimension al menos $2$. Así que, a continuación,

$$K^{\mathrm{naive}}(X)\simeq K^{\mathrm{naive}}(\mathbf{A}_S^n)\simeq K(\mathbf{A}_S^n)\simeq K(S).$$

La segunda equivalencia de aquí se deduce del hecho de que "ingenuo" $K$-teoría está de acuerdo con $K$-teoría de los esquemas que admitir una amplia familia de la línea de paquetes (véase la sección 3 de Thomason-Trobaugh). La diferencia entre (a) y (B) aquí se refleja el fracaso de nuestra $X$ a admitir una familia.

Un ejemplo como este se discute es Thomason-Trobaugh creo que al final de la sección 8 (dondequiera que se hable de Mayer-Vietoris). [Lo siento, esto es de memoria, no tengo una copia de la Festschrift a mano.]

Espero que esto ayude!