Tomar una integral de un integrando formado por diferentes funciones radicales de potencia

Question

Así que tengo esta integral, $$\int_0^1 (1-x^7)^{1/3}-(1-x^3)^{1/7} dx$$

y no sé por dónde empezar con esto. He intentado hacer algo de álgebra, pero no reconozco ningún patrón. (Tal vez es mi cerebro cansado, pero estoy completamente perdido).

Si alguno de vosotros puede indicarme la dirección correcta, darme alguna pista útil o explicarme cómo solucionarlo, os estaré eternamente agradecido.

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que la aplicación de la sustitución $x\to x^{1/7}$ rinde

$$\begin{align} \int_0^1 (1-x^7)^{1/3}\,dx&=\int_0^1(1-x)^{1/3}\frac{1}{7}x^{-6/7}\,dx\\\\ &=\int_0^1 x^{1/3}\frac17 (1-x)^{-6/7}\,dx \tag 1\\\\ \end{align}$$

Integrando por partes la integral del lado derecho de $(1)$ con $u=x^{1/3}$ y $v=-(1-x)^{1/7}$ revela

$$\begin{align} \int_0^1 (1-x^7)^{1/3}\,dx&=\int_0^1 (1-x)^{1/7}\frac13x^{-2/3}\,dx\tag2\\\\ &=\int_0^1(1-x^3)^{1/7}\,dx\tag 3 \end{align}$$

donde aplicamos la sustitución $x\to x^3$ para pasar de $(2)$ a $(3)$ .

¡Y ya está!

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NOTA: Los números no tienen nada de especial $3$ y $7$ en el desarrollo anterior. Dejemos que $I(r,s)=\int_0^1 (1-x^r)^s\,dx$ con $r>0$ y $s>-1$ .

Entonces, aplicando la sustitución $x\to x^{1/r}$ rinde

$$\begin{align} I(r,s)&=\int_0^1 (1-x)^s \frac1r x^{1/r-1}\,dx\\\\ &=\int_0^1x^s\frac1r (1-x)^{1/r-1}\,dx \end{align}$$

Integración por partes con $u=x^s$ y $v=-(1-x)^{1/r}$ revela

$$I(r,s)=\int_0^1 sx^{s-1}(1-x)^{1/r}$$

Por último, la aplicación de la sustitución $x\to x^{1/s}$ obtenemos

$$I(r,s)=\int_0^1(1-x^{1/s})^{1/r}\,dx=I(1/s,1/r)$$

como se iba a demostrar.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \int_0^1\left(1-x^7\right)^{1/3}\,\mathrm{d}x &=\color{#C00}{\int_0^1(1-x)^{1/3}\,\mathrm{d}x^{1/7}}\\ &=\frac17\int_0^1(1-x)^{1/3}x^{-6/7}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac17\frac{\Gamma(4/3)\,\Gamma(1/7)}{\Gamma(31/21)}\\ &=\frac{\Gamma(4/3)\,\Gamma(8/7)}{\Gamma(31/21)} \end{align} $$ y $$ \begin{align} \int_0^1\left(1-x^3\right)^{1/7}\,\mathrm{d}x &=\color{#C00}{\int_0^1(1-x)^{1/7}\,\mathrm{d}x^{1/3}}\\ &=\frac13\int_0^1(1-x)^{1/7}x^{-2/3}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac13\frac{\Gamma(8/7)\,\Gamma(1/3)}{\Gamma(31/21)}\\ &=\frac{\Gamma(8/7)\,\Gamma(4/3)}{\Gamma(31/21)} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \int_0^1\left[\left(1-x^7\right)^{1/3}-\left(1-x^3\right)^{1/7}\right]\,\mathrm{d}x=0 $$ Se puede llegar a este resultado sin las integrales Beta observando que las integrales rojas son iguales por el cambio de variables $x\mapsto1-x$ y la integración por partes.

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Generalización

Como señala Claude Leibovici en un comentario, podemos generalizar lo anterior como $$ \begin{align} \int_0^1\left(1-x^m\right)^{\frac1n}\,\mathrm{d}x &=\int_0^1\left(1-x\right)^{\frac1n}\,\mathrm{d}x^{\frac1m}\\ &=\frac1m\int_0^1\left(1-x\right)^{\frac1n}x^{\frac1m-1}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac1m\frac{\Gamma\left(1+\frac1n\right)\Gamma\left(\frac1m\right)}{\Gamma\left(1+\frac1n+\frac1m\right)}\\ &=\frac{\Gamma\left(1+\frac1n\right)\Gamma\left(1+\frac1m\right)}{\Gamma\left(1+\frac1n+\frac1m\right)} \end{align} $$ y utilizar la simetría de la fórmula anterior para demostrar que $$ \int_0^1\left(1-x^m\right)^{\frac1n}\,\mathrm{d}x =\int_0^1\left(1-x^n\right)^{\frac1m}\,\mathrm{d}x $$

Answer 3

SUGERENCIA:

Si $(1-x^7)^{1/3}=y,y^3+x^7=1$ y si $x=1,y=0;$ si $x=1,y=0$

y si $(1-x^3)^{1/7}=y,y^7+x^3=1$ y si $x=1,y=0;$ si $x=1,y=0$

Así, ambos representan la misma área de la curva entre $[0,1]$