Las frases y notaciones más ambiguas e inconsistentes en matemáticas

Question

¿Cuáles son algunos ejemplos de notaciones y palabras en matemáticas que han sido tan sobreutilizadas o mal utilizadas que se vuelven casi completamente ambiguas al presentarse en nuevos contextos?

Por ejemplo, una función $f$:

$f^{-1}(x)$ puede ser una inversa y una preimagen y a veces incluso $\frac{1}{f(x)}$.

$f^2(x)$ puede ser $(f\circ f)(x)$ y $(f(x))^2$.

$f^{(2)}(x)$ en cambio, es la segunda derivada, aunque agregar paréntesis a un número generalmente no hace nada.

Y para algunas funciones se omiten los paréntesis para el argumento: $f\:x = f(x)$.

Entonces, ¿cómo se debería interpretar $f^{(2-3)}(x)$? ¿$f^{(-1)}$, una integral de $f$? ¿o una composición, $\left(f^{(2)}\circ f^{(-3)}\right)(x)$? ¿O simplemente $f^{2-3}(x) = f^{-1}(x)$?

Otro ejemplo es el notorio uso de la palabra de los matemáticos normal para describir...¿cosas normales?

El uso de símbolos y expresiones similares para cosas diferentes es inevitable, pero puede crear cierta ambigüedad cuando se introducen por primera vez en sus otros usos.

Answer 1

1. 'La función $f(x)$'. No, la función es $f$.
2. Sean $f$ y $g$ funciones diferenciables reales definidas en $\mathbb R$. Algunas personas denotan $(f\circ g)'$ como $\dfrac{\mathrm df(g(x))}{\mathrm dx}$. Contraste con lo anterior. Discuto esto con más detalle aquí.
3. La ecuación diferencial $y'=x^2y+y^3$. Solo una variante menor de 1. Lo correcto sería $y'=fy+y^3$ donde $f\colon I\to \mathbb R, x\mapsto x^2$, para algún intervalo $I$.
4. Esta es una que encuentro particularmente repugnante. "Si $t(s)$ es una función de $s$ y es invertible, entonces $s(t)$ es la inversa", ¿qué? El concepto de 'función de una variable' ni siquiera es definible de manera satisfactoria en $\sf ZFC$. También $\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^{-1}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}$. Contraste con 1.
5. En álgebra es común denotar la estructura algebraica por el conjunto subyacente.
6. Cuando $\langle \,\cdot\,\rangle$ es una función que toma conjuntos como sus entradas, es común abusar de $\langle\{x\} \rangle$ como $\langle x\rangle$. Más generalmente es común considerar un conjunto finito $\{x_1, \ldots ,x_n\}$ como la secuencia finita $x_1, \ldots ,x_n$. Esto ocurre por ejemplo en lógica. También en álgebra lineal y es usual ir aún más lejos y hablar de 'vectores linealmente independientes' en lugar de 'conjunto linealmente independiente' — esto solo es un abuso cuando la (in)dependencia lineal se define para conjuntos en lugar de 'listas'.
7. 'Considera el conjunto $A=\{x\in \mathbb R\colon P(x)\}$'. Probablemente soy la única persona que lee esto como que el conjunto es toda la igualdad $A=\{x\in \mathbb R\colon P(x)\}$ en lugar de $A$ o $\{x\in \mathbb R\colon P(x)\}$, en cualquier caso es un abuso. Otro ejemplo de esto es 'multiplica por $1=\frac 2 2$'.
8. Denotando tanto la suma escalar como la suma de funciones por $+$.
9. En lugar de $((\varphi\land \psi)\to \rho)$ las personas primero abandonan los paréntesis exteriores y utilizan $(\varphi\land \psi)\to \rho$ y luego $\land$ tiene precedencia sobre $\to$, dando el mucho más común (aunque formalmente incorrecto) $\varphi\land \psi\to \rho$.
10. Incluso ignorando el problema en 1., el símbolo $\int x\,\mathrm dx=\frac {x^2}2$ es ambiguo ya que puede significar varias cosas. Bajo una de las interpretaciones comunes, el signo igual ni siquiera denota una igualdad. Me refiero a ese significado aquí (es el mismo problema que con $f=O(g)$).
11. También está el muy común '$\ldots$' mencionado por Lucian en los comentarios.
12. Lucian también menciona que $\mathbb C=\mathbb R^2$ es un abuso a veces, pero no todo el tiempo, dependiendo de cómo definas las cosas.
13. Dada un mapa lineal $L$ y $x$ en su dominio, no es inusual escribir $Lx$ en lugar de $L(x)$. No estoy seguro de si esto puede considerarse incluso un abuso de notación porque $Lx$ no tiene sentido y deberíamos ser libres de definir $Lx:=L(x)$, no hay ambigüedad. A menos, por supuesto, que equipares los mapas lineales con matrices y esto sea un abuso. En el tema de las matrices, es común mirar las matrices de $1\times 1$ como escalares.
14. A los geométricos les gusta decir que $\mathbb R\subseteq \mathbb R^2\subseteq \mathbb R^3$.
15. Usar $\mathcal M_{m\times n}(\mathbb F)$ y $\mathbb F^{m\times n}$ indistintamente. En la misma nota, $A^{m+ n}=A^m\times A^n$ y $\left(A^m\right)^n=A^{m\times n}$.
16. No sé cómo olvidé esta. La omisión de cuantificadores.
17. Llamar 'fórmulas bien formadas' por 'fórmulas'.
18. Decir $\forall x(P(x)\to Q(x))$ es una afirmación condicional en lugar de una afirmación condicional universal.
19. Cosas como $\exists yP(x,y)\forall x$ en lugar de (probablemente, pero no con certeza) $\exists y\forall xP(x,y)$.
20. El clásico $u=x^2\implies \mathrm du=2x\mathrm dx$.
21. Este me perturba profundamente. A veces la gente quiere decir "Si $A$, entonces $B$" o "$A\implies B$" y dicen "Si $A\implies B$". "Si $A\implies B$" ni siquiera es una afirmación, es parte de una afirmación condicional incompleta cuyo antecedente es $A\implies B$. Nuevamente: las matemáticas deben ser interpretadas con prioridad sobre el lenguaje natural.
22. Decir que $x=y\implies f(x)=f(y)$ prueba que $f$ es una función.
23. Usar $f(A)$ para denotar $\{f(x)\colon x\in A\}$. ¿Por qué no ceñirse a $f[A]$ que es tan estándar? Otra posibilidad es $f^\to(A)$ (¿o deberían ser corchetes cuadrados?) que aprendí de egreg en este comentario.

Answer 2

El tratamiento inconsistente de elevar funciones trigonométricas a potencias: $$ \sin^n x \,.$$

Seriamente, comenzando ab inito $$\sin^2 x$$ podría significar $$\sin( \sin(x) )$$ si eres un mecánico cuántico y te gusta ver todo como un operador o como $$(\sin x)^2$$ que es el significado convencional.

Entonces ¿por qué se usa $$\sin^{-1} x$$ para $$\arcsin x$$ (lo cual es vagamente consistente con lo primero) en lugar de $$(\sin x)^{-1} $$ para mantenerse en línea con lo último.

Answer 3

Factorial doble $n!!=n(n-2)(n-4)\cdots$, donde el producto se extiende a través de enteros positivos.
En la primera vez esta notación me confundió mucho porque se ve igual que $(n!)!$ .
Un argumento similar sobre multifactorial.

Answer 4

En el primer año en la universidad, estaba realmente confundido con la noción de una secuencia

$$\{ x_n : n \in \mathbb N \}$$

porque esto también podría ser un conjunto! Luego descubrí

$$(x_n)_{n \in \mathbb N}$$

Y ahora estoy bien con las secuencias.

Answer 5

A menudo escribimos $f(n) = O(g(n))$, cuando en realidad $O(g(n))$ es un conjunto, y debería escribirse como $f(n) \in O(g(n))$. De manera similar para otras notaciones asintóticas, como $\Theta$ y $\Omega.