Probabilidad de que $x^2+y^2+z^2=0$mod $p$

Question

Esta pregunta sobre el MSE, pidió a la siguiente:

"Dado $x,y,z \in \mathbb{N},$ encontrar la probabilidad de que $x^2+y^2+z^2$ es divisible por $7.$"

El OP no declarar el supuesto modelo de probabilidad, y que fue debidamente criticado por eso. Por otro lado, es natural suponer que $x$, $y$, $z$ independientemente distribuidos de manera uniforme mod $7$.

Un análisis de casos a continuación, muestra que la probabilidad en cuestión es ${1\over7}$. Este simple resultado me llevó a resolver el mismo problema de los números primos $p=3$, $5$, $11$, y $13$. En cada caso obtuve ${1\over p}$ como resultado. Otros experimentos demostraron que el resto de $s=x^2+y^2+z^2$ mod $p$ no está uniformemente distribuido mod $p$, pero que en cualquier caso la probabilidad de $s=0$ mod $p$ es igual a ${1\over p}$ todos los $p\leq107$. Esto nos lleva a la siguiente

Conjetura. Deje que el integeres $x$, $y$, $z$ independientemente distribuidos uniformemente en el primer modulo $p$. Entonces la probabilidad de que $s:=x^2+y^2+z^2$ es divisible por $p$ es igual a ${1\over p}$.

Tal vez este bien conocidos. De lo contrario, me gustaría ver una prueba.

Answer 1

La encontró. Dado extraña dimensión $n$ y una forma cuadrática $$ f = a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 + \cdots + a_n x_n^2, $$ todo en un campo finito con número impar de elementos $q,$ el recuento $$ \#\left(f = b\right) \; = \; q^{n-1} + q^{(n-1)/2} \; \; \chi \left( \; (-1)^{(n-1)/2} \; b a_1 a_2 \ldots a_n\right). $$ En la parte inferior de la página 91 Pequeños puntos que $$ \#\left(f = 0\right) \; = \; q^{n-1} . $$ Al $b \neq 0$ necesitamos saber lo $\chi$ medios.

Aah. Página 86, muy simple. Hemos campo finito $F$ y el elemento $a.$ $\chi(0) = 0.$ Si $a$ es un valor distinto de cero de la plaza, $\chi(a)=1.$ Si $a$ es distinto de cero y no un cuadrado, $\chi(a)=-1.$

Charles Pequeña, la Aritmética de Campos Finitos, Teorema 4.6 en la página 91,