Media armónica minimiza la suma de cuadrados errores relativos

Question

Estoy buscando una referencia donde se ha demostrado que el armónico significa

$$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$$

reduce al mínimo (en $z$) la suma de cuadrados errores relativos

$$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$$

Answer 1

Por qué usted necesita una referencia? Este es un simple problema de cálculo: Para el problema que usted ha formulado a hacer sentido, debemos asumir que todos los $x_i > 0$. A continuación, defina la función $$ f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i} $$ A continuación, calcular la derivada con respecto al $z$: $$ f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i}) $$ la solución de la ecuación de $f'(z)=0$ da la solución. Ahora, por supuesto, tenemos que comprobar que efectivamente este es un mínimo, por la que se puede calcular la segunda derivada: $$ f"(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0 $$ para la última desigualdad se utilizó, por último, que todos los $x_i>0$. Sin esa hipótesis nos podría, de hecho, el riesgo de que se había descubierto un máximo!

Como una referencia, tal vez https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean o https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean o las referencias allí contenidas.

Answer 2

Se podría señalar que esta es una de regresión de mínimos cuadrados ponderados con pesos $1/x_i$.

Para realizar la conexión con las referencias, volver a una notación estándar en el que hay que buscar para encontrar $\beta$ que minimiza $$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$$

Este es un modelo con una sola constante regresor $$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$$ and weights matrix $$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$$

He cambiado el nombre de "$x_i$ ""$y_i$ " ("respuesta") y el parámetro a ser estimado es $\beta$ en lugar de $z$. Las ponderaciones se $\omega_i=1/x_i$. Es necesario que todos ellos superan $0$. La solución es

$$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$$

QED.

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Comentarios

1. El mismo análisis se aplica a cualquier positiva conjuntos de pesos, proporcionando una generalización de la media armónica y de una manera útil a la caracterizan.

2. Cuando, como en un experimento controlado, el $x_i$ son vistos como fijo (y no al azar), la maquinaria de mínimos cuadrados ponderados proporciona intervalos de confianza e intervalos de predicción, etc. En otras palabras, echando el problema en esta configuración automáticamente le da una forma de evaluar la precisión de la media armónica.

3. Visualización de la media armónica como la solución a un ponderado problema da una idea de su naturaleza y, especialmente, a su sensibilidad a los datos. Ahora está claro que los contribuyentes más importantes son aquellos con el más pequeño de los valores de $x_i$--y su importancia ha sido cuantificado por los pesos de la matriz $W$.

Referencia

Douglas C. Montgomery, Elizabeth A. Peck, y G. Geoffrey Vining, Introducción al Análisis de Regresión Lineal. Quinta Edición. J. Wiley, 2012. La sección 5.5.2.