¿Cuáles son ejemplos de vectores que generalmente no se llaman vectores?

Question

En álgebra, un vector es un elemento de un espacio vectorial. Un ejemplo de un elemento de matriz.

En álgebra lineal, un vector es un nombre corto para una $1 \times m$ o $ n \times 1 $ matriz. (Mientras que una matriz es también un vector, por definición, pero rara vez se refirió como tal.)

En (analítica) de la geometría, un (euclidiana) vector es un objeto geométrico con una magnitud y una dirección. Estos pueden ser representados por las tuplas.

Ambas matrices y las tuplas son claramente los elementos del vector en algunos espacios, pero que por alguna razón no se llama vectores por su nombre, a diferencia de la euclídea vectores fila y vectores.

Hay otros ejemplos de vectores que no son llamados vectores, como las matrices y las tuplas?

Answer 1

Por supuesto que hay: Un par de ejemplos que vienen a la mente:

1) El espacio vectorial de todas las funciones continuas con la habitual función de la suma y la multiplicación escalar

2) El espacio vectorial de todas las secuencias de $u_n: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$

3) los Polinomios de

Los ejemplos anteriores son vectores en determinados espacios vectoriales, pero aún así, preferimos llamarlos funciones (1), secuencias (2), polinomios (3).

Usted puede pensar en más exóticos ejemplos, pero pensé que estos eran buenos ejemplos para responder a su pregunta ya que estas son las cosas que usted ya haya encontrado.

Answer 2

Nada.

Tomar cualquier conjunto $X$. Consideremos el conjunto $A:=\{f:\{X\} \to \mathbb{R}\}$. $A$ tiene una evidente estructura de espacio vectorial. Ahora, vamos a $\mathcal{C}:=(A-\{f_1\}) \cup \{X\}$ donde $f_1$ mapas de $X$$1$. A continuación, $\mathcal{C}$ también tiene una evidente estructura de espacio vectorial (la que hace la "identidad" de un isomorfismo), y $X$ es un elemento de $\mathcal{C}$, por lo tanto un vector.

Esta respuesta es sólo para destacar que ser un vector no es una cualidad en sí misma. La importancia es el de toda la estructura (el espacio vectorial, la suma, la multiplicación por escalar, etc) y su pertinencia para la situación que se está aplicando, que es la razón por la que no se refieren a un montón de cosas como vectores incluso a pesar de que son (porque ser un vector no es relevante para la situación en la mano).

Answer 3

La calidad de un "vector" que está describiendo es la capacidad de escribir como un conjunto de coordenadas con respecto a alguna base de que el espacio en el que residen. En dimensiones finitas, siempre que se mantenga el orden de la base de los elementos, esto toma la forma de una "tupla", o una fila o columna de la matriz. Esta "imagen" de un espacio vectorial vuelve un poco complicado una vez que usted se mueve allá de dimensiones finitas, ya que nuestra base ahora contiene una infinidad de elementos.

A veces nos puede escribir los vectores en el espacio como una especie de lista ordenada (como el espacio de todas las secuencias) aunque el vector de espacio de infinitas dimensiones. Sin embargo, no podemos escribir en una base de estos espacios, pero sabemos que debe existir (suponiendo que el axioma de elección). Para tales espacios vectoriales, la base se convierte en bastante inútil, y tenemos que adoptar otras herramientas para su estudio.

Hay muchos ejemplos de espacios vectoriales que no "mira" como vectores en el sentido tradicional. El conjunto de funciones de un conjunto dado en el real o los números complejos se hacer, donde tomamos el "pointwise las operaciones de la suma y la multiplicación escalar.

Answer 4

Usted ha mencionado el espacio de la matriz como un vector en el espacio. La respuesta por Math_QED ha dado tres frecuente ejemplos. Uno de los otros a menudo mencionado, por ejemplo, que de inmediato viene a la mente es un campo de $\mathbb K$ como un espacio vectorial sobre un campo de la $\mathbb F$.

Por ejemplo, $\mathbb R$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb Q$, donde cada número real es un "vector" y cada número racional es un "escalar". Adición de vectores se define por la suma de números reales, y la multiplicación escalar es también la costumbre de la multiplicación de números reales, pero sólo la multiplicación de un "vector" (un número real) por un "escalar" (un número racional) es considerado como un legítimo de la multiplicación escalar. Este espacio vectorial es de infinitas dimensiones, como se explica por una popular publicación en este sitio.

Otro ejemplo muy importante, que es algo similar, pero no exactamente igual a lo que Aloizio Macedo describe en su respuesta, es el concepto de un vector libre del espacio.

Deje $X$ ser cualquier conjunto, y $\mathbb F$ ser cualquier campo. Para cualquier $x\in X$, vamos a $f_x:X\to\mathbb F$ denota la función de pertenencia se define por $f_x(x)=1$ ($1$ aquí es el elemento de identidad en $\mathbb F$) y $f_x(y)=0$ (el elemento cero en $\mathbb F$) si $y\ne x$. A continuación, el lineal lapso de $\{f_x: x\in X\}$, con la costumbre, además de las funciones y la multiplicación de una función por un escalar, es un espacio vectorial sobre $\mathbb F$. En otras palabras, cada "vector" aquí es una función de $f:X\to \mathbb F$ cuyo preimagen $f^{-1}(\mathbb F)$ es un conjunto finito.

La moraleja aquí es que todos (sí, todos) set $X$ puede ser un espacio vectorial sobre cualquier campo de $\mathbb F$, incluso cuando se $X$ $\mathbb F$ son completamente ajenos. Si podemos definir un vector suma y la multiplicación escalar que hace que el espacio vectorial interesante o útil, es otro asunto.

El concepto de vector libre del espacio es útil para nuestra comprensión de los conceptos de la asignación universal y el producto tensor, pero no voy a entrar en detalles aquí, ya que esto está cubierto en muchos libros de álgebra multilineal.

Answer 5

En el "álgebra lineal" desde, escalares (números) son "vectores" de dimensión 0 y todos los tensores son "vectores".