Pregunta: Prueba alternativa para "Para cualquier primer $p$, $\sqrt{p}$ no racional"?

Question

estudiar para un final ahora, y una de mis preguntas de estudio es,

Si $p$ es primo, a continuación, $\sqrt{p}$ no es racional (es decir, irracional).

Entiendo que el estándar de prueba por contradicción, donde la contradicción es que el $a, b$ no coprimes cuando usted se representa a $$\sqrt{p} = \frac{a}{b},$$

pero me trató de una manera diferente y quiero ver si es aceptable o no (estoy suponiendo que el último caso).

Así,

1. Suponga $\sqrt{p}$ como un número racional, entonces,
2. $\sqrt{p} = \frac{a}{b}$ donde $a, b$ coprimes
3. $p = {\left(\frac{a}{b}\right)}^{2}$

Ahora, desde la $p$ es un número primo, entonces la única manera de representar a $p$ como un número racional es por $p = \frac{p}{1}$. Por eso,$a = p$$b = 1$.

4. Por lo tanto, tenemos $p = \frac{p^2}{1^2}$

5. $p = p^2$, Contradicción.

De ello se desprende que $\sqrt{p}$ no puede ser racional (es decir, $\sqrt{p}$ es irracional). QED.

Es esto aceptable? O son los pasos (3) $\rightarrow$ (4) demasiado de un salto?

Cualquier comentario apreciado.

Answer 1

$p = \frac{p}{1}$ no es la única manera de representar $p$; $\frac{2p}{2}$, etc. también funcionaría.

Creo que vas a encontrar la idea que $p = \frac{a^2}{b^2}$, para enteros $a,b \in \mathbb{Z}$, implicaría que $a^2 = p b^2$; y si usted asume la única factorización en números primos, esto es una contradicción porque $a^2$ tiene un poder incluso de $p$ $p b^2$ tiene un extraño poder de $p$. Usted puede hacer una prueba válida con este argumento.

Answer 2

Se me ocurre que su prueba es generalmente buena, hasta que establezca $a=p$$b=1$. En particular, asumiendo $a$ $b$ son coprime, también se puede demostrar que $a^2$ $b^2$ son coprime. Por lo tanto, al llegar a $$p=\frac{a^2}{b^2}$$ usted está autorizado a decir $a^2=p$ $b^2=1$ debido a que esta es la única representación de $p$ como el cociente de dos coprime números naturales. Su método se olvidó de la plaza de la $a$ $b$ para el uso de esta igualdad. De hecho, a este punto en la prueba, no hemos utilizado ese $p$ es el prime - esta parte de su argumento establece que la raíz cuadrada de un número entero es irracional o un número entero.

A partir de aquí, se limita a la conclusión de que la $p$ no es el cuadrado de un número entero - que es fácil, ya que si $a^2=p$ $a$ es un factor de $p$, lo $a=1$ o $a=p$ desde $p$ es primo, que por supuesto, no son soluciones a $a^2=p$, terminando la prueba.

Answer 3

Hay otra manera de demostrar que $\sqrt p$ no es racional.

$1)$ Muestran que si $n$ no es un cuadrado perfecto, y si usted asume $\sqrt n = \dfrac ab$, entonces el $b \not = 1$

$2)$ Si $a$ y $b$ son primer Co, $n = \dfrac ab \cdot \dfrac ab$, $\dfrac {a^2}{b^2}$ es una fracción unsimplifiable

$3)$ Concluir que si la raíz cuadrada de un número $n$ puede ser representada por el primer Co $\dfrac ab$, entonces el número $n$ no puede ser un número entero

¡Me avisas si quieres que te rellene los detalles!

Answer 4

Que $p \in \mathbb{Z}$ ser un número primo.

Supongamos

%#% $ #% con $$p=\frac{a^2}{b^2}$ coprimes. La única manera de representar $a,b\in \mathbb Z$ como una relación de dos números coprimos es $p$, así

$\frac p1$ $ Pero luego o $$a^2=p\implies a \mid p$ o $a=p$; ambos casos son absurdos.

Answer 5

El paso de $3$ $4$ parece ser falso.

Las siguientes son representaciones válidas de $p$:

$\frac{p}{1},\frac{2p}{2},\frac{3p}{3}$ y en general $\frac{kp}{k}$ $k$ Dónde está un número entero distinto de cero.