Cuando $\mathbb{C}P^n / \mathbb{C}P^{n-2}$ es equivalente a $S^{2n} \vee S^{2n-2}$ de homotopía usando cuadrados de Steenrod

Question

Deje $\mathbb{C}P^n$ denota el complejo espacio proyectivo real colector dimensión $2n.$ Mi pregunta es para qué valores de $n$, los espacios de $\mathbb{C}P^n / \mathbb{C}P^{n-2}$ es homotopy equivalente a $S^{2n} \vee S^{2n-2}?$

Intento: El cohomology $H^{k}(\mathbb{C}P^n / \mathbb{C}P^{n-2}, \mathbb{Z}/2) \cong \mathbb{Z}/2$ $n = 0, \; 2n-2, \; 2n$ y cero en caso contrario. También la cohomology $H^{\ast}(S^{2n} \vee S^{2n-2})$ es la misma que la anterior. Así que calcular el Steenrod plazas en los espacios. Para el espacio de $\mathbb{C}P^n / \mathbb{C}P^{n-2}$ tenemos en cuenta el mapa de $q \colon \mathbb{C}P^n \to \mathbb{C}P^n / \mathbb{C}P^{n-2}.$ Dejar que el cohomology anillo de $\mathbb{C}P^n $ está dado por $\mathbb{Z}/2[x]/(x^{n+1})$ $|x|=2.$ También considerar la posibilidad de $H^{2n-2}(\mathbb{C}P^n / \mathbb{C}P^{n-2}) \cong \mathbb{Z}/2\{y\}$$H^{2n}(\mathbb{C}P^n / \mathbb{C}P^{n-2}) \cong \mathbb{Z}/2\{z\}$. A continuación, $q^{\ast}(y) =x^{n-1}$ $q^{\ast}(z) = x^n$ porque $q^{\ast}$ es isomorfismo en grados $2n-2$ $2n.$

$$q^*(Sq^2(y)) = Sq^2(x^{n-1})= nx^n = q^*({nz})$$ Therefore $Sq^2(y) =nz.$ But $Sq^2$ is zero on the space $S^{2n} \vee S^{2n-2}.$ So if $$ n es impar, a continuación, estos espacios no son homotopy equivalente.

Alguien me puede ayudar a contestar a mi pregunta en detalles?

Muchas gracias.

Answer 1

Su cálculo es siempre tan ligeramente incorrecta. En realidad, la fórmula es $\text{Sq}^2(x^{n-1}) = (n-1)x^{n}$. Esto se deriva inductivamente; el problema con su fórmula es que su valor en $x$ debe $x^2$, no $2x^2$, por la copa producto de $\Bbb{CP}^n$.

Así que lo que uno aprende es que $\Bbb{CP}^n/\Bbb{CP}^{n-2} \not\simeq S^{2n} \vee S^{2n-2}$ al $n$ es incluso. (Como una comprobación de validez: $\Bbb{CP}^2 \not\simeq S^4 \vee S^2$, mirando la copa del producto).

¿Cómo podemos lidiar con el extraño caso? Bien, $\Bbb{CP}^n/\Bbb{CP}^{n-2}$ es un CW complejo con una celda de la dimensión$(2n-2)$$2n$, por lo que debe ser $X^{2n}_f = S^{2n-2} \cup_f D^{2n}$ donde $f \in \pi_{2n-1}(S^{2n-2})$. Al $n>2$ (que podemos muy bien suponer, ya que hemos fácilmente tratado con el caso de $n=2$), el segundo grupo es $\Bbb Z/2.$ Así que supongamos $f$ es distinto de cero. Si podemos demostrar que $X^{2n}_f$ ha trivial Steenrod cuadrados, que va a demostrar que cuando se $n$ es impar, $\Bbb{CP}^n/\Bbb{CP}^{n-2} \simeq S^{2n} \vee S^{2n-2}$.

Esta realidad es totalmente sencillo. En todos los casos, si $X$ es un CW complejo, $Y \subset Z$ otro, y $X \cup_f Z$ la contigüidad espacio definido por un mapa de $f: Y \to X$,$\Sigma(X \cup_f Z) = \Sigma X \cup_{\Sigma f} \Sigma Z$. Aplicado a este caso, podemos ver que $X^{n+4}_f = \Sigma^n \Bbb{CP}^2$, debido a que el elemento distinto de cero $f \in \pi_{n+3}(S^{n+2})$ $n$veces la suspensión de la Hopf mapa. Por suspensión de la invariancia de Steenrod plazas, el Steenrod plaza mapa en $X^{n+4}_f$ es distinto de cero. Por lo tanto el resultado deseado de la siguiente manera.