¿Por qué es $\cos (90)=-0.4$ en WebGL?

Question

Soy un artista gráfico que está completamente fuera de mi alcance en este sitio.

Sin embargo, estoy experimentando con WebGL (software 3D para navegadores de internet) e intentando animar una pelota que rebota.

Al parecer, podemos usar la trigonometría para crear curvas suaves y agradables.

Desafortunadamente, simplemente no puedo ver por qué.

Puedo aceptar este diagrama:

Sin embargo, realizar algunos cálculos simplemente no tiene sentido para mí:

Establezcamos $\alpha$ en 45 (alrededor de donde parece estar en el diagrama) y encontremos el valor del coseno, lo que nos da la línea verde. $$\cos(45) = 0.5$$

Bastante bien. $\cos(\alpha)$ / la línea verde es de $0.5$ unidades.

Pero ahora es donde todo se desmorona. Habría pensado que si establecemos $\alpha$ en $90$, $\cos$ se convertiría en $0$. ¿Ves por qué pienso esto? Mira el diagrama, ¿no es razonable pensar así? Similarmente, $\cos(0)$ habría dicho que debería ser igual a $1$ (el doble de $\cos(45)$)

Aunque $\cos(0)$ es igual a $1$, esto no cuadra: $$ cos(90) = -0.4$$

Simplemente no entiendo ese $0.4$. ¿Podría alguien explicarlo? Eso simplemente no tiene sentido para mí. Nada.

Estoy usando la calculadora de Google y quiero enfatizar que no he tocado las matemáticas en unos $6$ años (¡desde que salí de la escuela!) así que por favor, muchas ejemplos y palabras para explicarlo!

Answer 1

La función coseno toma radianes como argumento en la mayoría de los lenguajes computacionales.

De hecho, $\cos 45^{\circ} = \sqrt{0.5}$, y $\cos 90^{\circ} = 0$. Sin embargo, en matemáticas, por varias razones, no nos gusta trabajar con grados. Trabajamos con radianes, donde $2\pi\ \textrm{radianes} = 360^{\circ}$.

De hecho, $\cos 90\ \textrm{radianes} \approx -0.44807$ y $\cos 45\ \textrm{radianes} \approx 0.525$.

90 radianes serían aproximadamente 5156 grados, ¡o alrededor de 14.3 vueltas alrededor del círculo!

Answer 2

Su problema está con las unidades. Como matemáticos, generalmente medimos los ángulos en radianes no en grados. La conversión es $$ x\text{ grados}=\frac{x}{180}\pi\text{ radianes} $$ La mayoría del software generalmente toma el argumento de las funciones trigonométricas como radianes. Así que $\cos(45^\circ)$ se calcula como $$ \cos(45^\circ)=\cos\left(\frac{45}{180}\pi\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt 2} $$ Tienes razón en que $\cos(90^\circ)=0$, pero cuando introduces $\cos(90)$ en una calculadora, la calculadora lee $90$ en radianes, no en grados. Lo que debes introducir es $$ \cos(90^\circ)=\cos\left(\frac{90}{180}\pi\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) $$ lo cual devolverá como resultado $0$.

Como evidencia, escribe cos(90) en google (aquí google interpreta 90 en radianes, no grados). Compara escribiendo cos(90 grados) en google.

Para resumir, si quieres encontrar el valor de $\cos(x^\circ)$, escribe $$ \cos\left(\frac{x}{180}\pi\right) $$ en tu calculadora.

Answer 3

Su pregunta escrita podría ser: ¿Podría alguien explicar cos a un idiota por favor? No responderé a esto, ya que no estaría ayudando.

La pregunta respondida es más bien: ¿Por qué cos no se comporta como espero? Tampoco responderé a esto, ya que ya está respondido suficientemente. Y probablemente sea un duplicado...

Sin embargo, quiero responder a su pregunta prevista, al menos como anticiparía. Para esto me concentraré en esta parte de su pregunta:

Sin embargo, estoy incursionando en WebGL (software 3D para navegadores de internet) e intentando animar una pelota rebotante.

Aparentemente podemos usar trigonometría para crear curvas suaves y agradables.

Anticipo que su verdadera pregunta podría ser algo así: ¿Cómo obtengo un camino agradable para animar una pelota rebotante?

La respuesta es: No con funciones trigonométricas ya que te ayudan con movimiento circular, por ejemplo, una pelota atada a un cordel girando alrededor de un punto fijo. Deberías intentar un camino parabólico. La función y = x² es el ejemplo más fácil de una parábola. Pero probablemente querrás establecer un punto de partida, cambiarlo y estirarlo.

Entonces, en lugar de una función explícita para cada punto en el camino, podrías usar un proceso iterativo simple:

Tener una posición inicial (x,y), una velocidad inicial (m,n) y algún tipo de gravedad (g, ~10m/s² se verá natural pero eso es algo para avanzados). Para cada iteración actualizas tu posición de esta manera:

x := x + m
y := y + n

y tu velocidad:

n := n - g

Para hacer rebotar la pelota, inviertes la velocidad cuando golpea un obstáculo, por ejemplo, al rebotar desde el suelo en el nivel b:

if (y < b) then n := -n

Esto proporcionará un comportamiento bastante básico y necesitará algunos ajustes y extensiones, especialmente para movimiento natural, bordes afilados de obstáculos, altura de rebote decreciente, etc.

Nota que uso := para resolver el problema de que x = x + m requeriría que m = 0 sea correcto en un contexto matemático. El "operador" := está destinado como una redefinición para evitarle un índice de iteración o parámetro, es decir, x_i o x(i).

Answer 4

Hay dos unidades comunes de medición de ángulos: grados, con $360$ grados formando un círculo completo, y radianes, con $2\pi$ radianes formando un círculo completo.

Los calculadores generalmente pueden cambiarse de un "modo angular" a otro. Tu cálculo de $\cos(90)$ proviene de usar un calculador en modo radianes, mientras que tu ángulo está en grados. (Estás perfectamente correcto de que el coseno de $90$ grados es $0$.)

Answer 5

Has cometido múltiples errores en tu pregunta.

1. Vamos a establecer a 45 (aproximadamente donde parece estar en el diagrama) y encontrar el valor del coseno, lo que nos dará la línea verde.

   cos(45) = 0.5

   Bastante bien. cos() / la línea verde es de 0.5 unidades.

   La línea verde no es de 0.5 unidades.

   La línea verde, la línea roja y los ejes $x$ e $y$ forman un cuadrado cuya diagonal es de 1 unidad. Por el Teorema de Pitágoras,

   $$ \begin{array}{} (\cos \alpha)^2 &+\quad (\sin \alpha)^2 &= 1^2 \\ (\cos \alpha)^2 &+\quad (\cos \alpha)^2 &= 1 \tag{longitud verde = longitud roja}\\ \end{array}\\ \cos \alpha = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt 2} \approx 0.707 $$

   Por lo tanto, la longitud de la línea verde es aproximadamente 0.707.

2. De manera similar, cos(0) yo habría dicho que debería ser igual a 1 (el doble que cos(45) )

   Aunque es cierto que $\cos 0 = 1$, no hay justificación para "el doble que cos(45)".

3. cos(90) = -0.4

   No entiendo eso. ¿0.4? ¿Podría alguien explicarlo? Eso simplemente no tiene sentido para mí. Nada.

   Estoy utilizando la calculadora de Google…

   La Calculadora de Google utiliza radianes como la unidad predeterminada para los ángulos. La conversión entre unidades es: $360^\circ = 2\pi\ \textrm{radianes}$. Por lo tanto, la Calculadora de Google interpretó tu solicitud como

   $$ \cos 90 = \cos \left(90 \cdot \frac{360^\circ}{2\pi}\right) \approx \cos 5156.62^\circ $$

   Para obtener el resultado que deseas, debes cambiar a modo Grado antes de escribir c90=