forma explícita de la ecuación de la curva elíptica

Question

Sea $E(\mathbb{F}_{q^2})$ es una curva elíptica con # $E(\mathbb{F}_{q^2}) =q^2 + q + 1$ . ¿Podemos escribir la ecuación de esta curva de forma explícita?

Answer 1

Curva $E$ con la ecuación $y^2 = x^3 + 1$ tiene $p+1$ puntos racionales sobre $\mathbb{F}_p$ cuando $p = 5$ (mod $6$ ). Sea $q = p^n$ . $|E(\mathbb{F}_{q^2})| = q^2 \pm 2q +1$ .

Sea $\zeta_6$ es generador de $\mathbb{F}_{q^2}^*/\mathbb{F}_{q^2}^{*6}$ .

Considere la curva $E'$ con la ecuación $y^2 = x^3 + \zeta^k$ .

Como se escribe en "Constructing supersingular elliptic curves" de Reinier Broker( http://www.math.brown.edu/~reinier/supersingular.pdf ) $|E'(\mathbb{F}_{q^2})| = q^2 \pm q +1 $ cuando $k = 1$ y $|E'(\mathbb{F}_{q^2})| = q^2 \mp q +1 $ si $k = 2$ .