$M$ orientable implica $H_{n-1}(M, \mathbb{Z})$ es grupo Abelian libre.

Question

Que $M$ ser un compacto conectado $n$-variedad sin límite, donde $n \ge 2$. ¿Cómo ver que si $M$ es orientable, entonces $H_{n-1}(M, \mathbb{Z})$ es un Grupo abeliano libre?

Answer 1

Un orientable colector es $R$-orientable para cualquier $R$. Ahora si $M$ es cerrado conectado a $n$ dimensional $R$-orientable colector, a continuación,$H_n(M;R)=R$.

De nuevo universal co-eficiente teorema de homología dice que , Si $C$ es un complejo de cadena de libre abelian grupos, entonces no son naturales corta secuencia exacta $0\to H_m(C)\otimes G\to H_m(C;G)\to Tor(H_{m-1}(C);G)\to 0$ es una división exacta de la secuencia de todas las $m,G$.

Y $Tor$ tiene las siguientes propiedades $Tor(A,B)= Tor(T(A),B)$ donde $T(A)$ es la torsión de los subgrupos de $A$, e $Tor(Z_n,B)= ker(B\to_n B)$, en particular,$Tor(Z_n,Z_n)=Z_n$.

Desde la homología de grupos de $M$ son finitely generado, ahora si $H_{n-1}(M;\mathbb{Z})$ contenidos de torsión, entonces existe un primer $p$ s.t si utilizamos universal coeficiente teorema de homología, a continuación, $H_n(M,Z_p)$ sería mayor que $Z_p$. (contradicción).

Answer 2

Como la cerrada múltiple es orientable, tenemos la poderosa herramienta de la Dualidad de Poincaré. Esto significa que tenemos un isomorfismo de la nivelación con la clase fundamental

$$H_{n-1}M \stackrel \sim \to H^1M.$$

Ahora es fácil ver que, por definición, a partir de aquí no usamos ningún orientability por el camino) o universal de los coeficientes, que $H^1M$ es sólo $Hom(H_1M,\mathbb Z)$ (que en sí es igual a $Hom(\pi_1M,\mathbb Z)$ $\mathbb Z$ es abelian. Así que tenemos un isomorfismo $H_{n-1}M \cong \mathbb Z^{b_1M}$, lo que significa libertad.

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Por la manera en que una forma interesante de ver la Dualidad de Poincaré Mapa bajo dichas identificaciones, es el siguiente. Para $x\in H_{n-1}M$ elegir un $(n-1)$-submanifold $N\subset M$ en representación $x$. Entonces

$$ H_{n-1}M \stackrel \sim \a Hom(\pi_1M,\mathbb Z), $$ $$ [N] \mapsto (\gamma \mapsto N \pitchfork \gamma), $$

está dada por la asignación de $[N]$ a la homomorphism en $\pi_1M$ que evalúa un (transversal) bucle para el firmado de la intersección con $N$.