He probado esta desigualdad en la siguiente forma:
Lema: $r \in \Bbb N, r \geq 3$. Tenemos $r^r \gt (r+1)^{r-1}$.
Prueba: aplicamos el AM-GM de la desigualdad a la $r$ enteros positivos, donde hay $r-1$ $(r+1)$'y una de $1$. Obtenemos $$\frac {1+(r-1)(r+1)}{r} \gt ((r+1)^{r-1})^{\frac {1}{r}}$$ wherefrom we get (since the $r^{{\rm th}}$ power function is increasing), $r^{r} \gt (r+1)^{i-1}$.
Ahora, he utilizado la inducción matemática para demostrar la declaración. Tenemos desde el lexema, $(k!)^{2} \gt k^k \implies (k!)^{2} \gt (k+1)^{k-1}$ y multiplicando esta desigualdad por $(k+1)^{2}$, $((k+1)!)^{2} \gt (k+1)^{k+1}$ y obviamente $(3!)^{2} \gt 3^3$.
Hay ninguna prueba directa de la declaración de que no hace uso de la inducción y el cálculo?
