He leído que la longitud del arco no es una forma diferencial. Pero no entiendo por qué no. Entiendo que formas diferenciadas están integrandos y longitud de arco es una expresión que es integrable. ¿Qué propiedad de forma diferenciada no satisface?
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zyx
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Entiendo que las formas diferenciales son integrands y longitud de arco es una expresión que es integrable.
En un determinado parametrización de la curva, cualquier expresión local que puede ser integrado puede ser escrito (a nivel local en el parámetro de la curva) como $f(p) dp$ mediante la diferenciación de la integral de la expresión. Este es un diferencial $1$-forma, y, en consecuencia, la integral es invariante bajo cambios de parámetro. Que no es una sorpresa, teniendo en cuenta que $f(p)$ fue definido por la diferenciación de un invariante de la cantidad.
Qué propiedad de forma diferenciada no sacia?
La longitud del arco está integrado sólo especificado a lo largo de las curvas, y es una forma diferenciada en cualquier curva. Sin embargo, el infinitesimal de longitud de arco (métrica de Riemann de la línea de elementos) $ds = \sqrt{\sum (dx_i)^2}$ se define sin referencia a ninguna curva y es una expresión local en las coordenadas del espacio en el que las curvas dibujadas. Esta expresión no es una forma diferenciada en el espacio, y no es posible volver a escribir como una forma diferenciada. Si fuera igual a un formulario, que puede limitarse a una determinada curva para obtener la arclength forma en que curva. Pero no hay forma, porque (a través de un punto dado, en un barrio pequeño) no debe pasar de curvas a lo largo de la cual la integración de un formulario da cero, y este no es el caso de la longitud del arco.
Aleksandr Levchuk
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Por simplicidad, vamos a explicar el caso de la norma arclength en $\mathbb{R}^n$. Supongamos $\alpha$ es un diferencial 1-forma en $\mathbb{R}^n$: entonces, no existen las funciones lisas $f_1, \ldots, f_n : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ tal que, para cualquier curva suave $\gamma : (0, 1) \to \mathbb{R}^n$, $$\int_\gamma \alpha = \int_0^1 \sum_{i=1}^{n} f_i (\gamma_i (t)) \dot{\gamma}_i (t) \, d t$$ Por lo tanto, por el teorema fundamental del cálculo, las funciones de $f_1, \ldots, f_n$ se determina únicamente por la asignación de $\gamma \mapsto \int_\gamma \alpha$: $$f_i (x) = \left. \frac{d}{d s} \right|_{s = 0} \int_{\gamma^s} \alpha $$ donde $\gamma^s$ es la línea en la $i$-th dirección de la longitud de la $s$ a partir de $x$. Por lo tanto, si arclength se determinaron por diferencia de un formulario, tendría que ser el diferencial de la forma $\mathrm{d} x_1 + \cdots + \mathrm{d} x_n$, lo que claramente no es.
