¿Se puede incrustar la línea larga en espacio euclidiano?

Question

En la definición de un colector $M$, tenemos las siguientes condiciones:

1. Para algunos fijos $n$, $M$ es localmente homeomórficos a $\mathbb{R}^d$.
2. $M$ está conectado, segundo contables, y Hausdorff.

Ahora, con esta definición, es un conocido teorema que $M$ puede ser incrustado en $\mathbb{R}^{2n+1}$. Sospecho que si la condición de segundo countability es relajado, luego de este teorema no es cierto, y por el intento de un contraejemplo es definir $L=\omega_1\times[0,1)$ con el fin de topología, donde $\omega_1$ es el primer innumerables ordinal. $L$ puede ser visto para ser un no-segunda-contables colector de dimensión uno, sin embargo, yo estoy luchando para demostrar que $L$ no puede ser embebido en $\mathbb{R}^3$. Tengo una vaga sensación de que mediante el uso de una cantidad no numerable de puntos en posición general y buen orden, una incrustación de hecho, puede ser construido, aunque puedo estar equivocado acerca de esto.

Si $L$ no es un contra-ejemplo a la hipótesis de que la no-segunda-contables de colectores todavía puede ser incrustado en el espacio Euclidiano, entonces ¿qué es?

Answer 1

Recordemos que cada subspace de un espacio segundo contable también es segundo-contable. (Si $\mathcal B $ es contable base para $ X$ $\{ U \cap Y : U \in \mathcal B \}$ es una base contable para $ Y \subseteq X$.) Por lo tanto no hay espacio segundo-contable (colector o no) puede incrustar en cualquier espacio euclidiano.

Answer 2

No, porque de la de Poincaré-Volterra teorema. Aquí es la declaración de que usted puede encontrar en Bourbaki la Topología General (I. 11.7, corolario 3).

Teorema. Deje $Y$ ser localmente compacto, conectado localmente espacio cuya topología tiene una contables de la base. Deje $X$ ser conectado a un espacio de Hausdorff, y deje $p : X \to Y$ ser una asignación continua que tiene la siguiente propiedad: para cada una de las $x \in X$ hay una vecindad $U$ $x$ $X$ de manera tal que la restricción de $p$ $U$es un homeomorphism de $U$ sobre un subespacio abierto de $Y$. A continuación, $X$ es localmente compacto y conectado localmente, y la topología de $X$ tiene una contables de la base.

Un clásico uso de este teorema es mostrar que las superficies de Riemann son automáticamente secound contables, incluso si usted no la hace explícita la hipótesis (la teoría general muestra que hay un no constante holomorphic mapa de $S \to \mathbb P^1(\mathbb C)$ y se aplica la de Poincaré-Volterra teorema).

Así, por un colector, siendo secound contable es equivalente a ser embebido en algún espacio Euclidiano. Estos son dos de los 119 (!) condiciones equivalentes a las que puede encontrar en el teorema 2.1 de Gauld del No-metrisable colectores.