Cómo encontrar y utilizar la ecuación de Clausius-Clapeyron

Question

Sé cómo obtener la ecuación de la ecuación de Clapeyron, pero tengo una pregunta con respecto a la integración a lo largo de una fase de límites y un pequeño paso en la derivación que voy a dejar en claro que cuando llegue ese paso. En primer lugar, la ecuación de Clapeyron:

$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{\Delta S}{\Delta V}$$

O, alternativamente, mediante el reconocimiento de que $\Delta G=0$ cuando las dos fases están en equilibrio; $\Delta G =\Delta H - T\Delta S$ puede ser reorganizado para dar:

$$\Delta S = \frac{\Delta H}{T}$$

Sustituyendo esto en la primera ecuación, se obtiene:

$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{\Delta H}{T\Delta V}$$

En un sólido/gas o líquido/gas de la fase de fase de los límites, se trata de una razonable aproximado que $\Delta V \approx V_{m,\text{gas}}$ $\Delta V = V_{m,\text{gas}}-V_{m,\text{condensed}}$ desde $V_{m,\text{gas}} \gg V_{m,\text{condensed}}$

Por consiguiente, utilizando la ecuación de estado para un gas perfecto, y la sustitución de $\Delta V$ en la segunda forma de la ecuación de Clapeyron, el siguiente resultado obtenido es:

$$\frac1p \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{\mathrm{d}\ln p}{\mathrm{d}T}=\frac{\Delta H}{RT^2}$$

Sin embargo, ¿por qué es $\frac1p \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{\mathrm{d}\ln p}{\mathrm{d}T}$?

El siguiente paso es el paso que no entiendo En mi conferencia en el folleto de este paso se muestra como:

$$\int_{p_1}^{p_2}\frac1p\mathrm{d}p=\int_{T_1}^{T_2}\frac{\Delta H}{RT^2}\mathrm{d}T$$

¿Por qué el lado izquierdo de ser integrado con respecto a $p$, sin embargo, el lado derecho de ser integrado con respecto a $T$. No puedo entender el sentido de esta. Otras instancias de la termodinámica, cuando la integración se utiliza como este, ambos lados están integrados con respecto a la misma variable. Por ejemplo, la búsqueda de lo $H$ varía con $p$. Voy a ir rápidamente a través de lo que quiero decir sin mucha explicación verbal:

$$\mathrm{d}H=T\mathrm{d}S+V\mathrm{d}p=\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_p \mathrm{d}S+\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S \mathrm{d}p$$

En consecuencia, para un mol de un gas perfecto:

$$V=\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S=\frac{RT}p$$

Por lo tanto:

$$\int_{p_1}^{p_2}\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S\mathrm{d}p=\int_{p_1}^{p_2}\frac{RT}p\mathrm{d}p$$

Desde $\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S\mathrm{d}p=\mathrm{d}H$ a una temperatura constante de $T$ (creo que esto es lo correcto – por favor aclarar)

$$\int_{p_1}^{p_2}\mathrm{d}H=RT\int_{p_1}^{p_2}\frac{1}p\mathrm{d}p$$

Esto, obviamente, puede ser integrado con bastante facilidad, pero esto sólo ilustra mi punto con respecto a la variable de que la integración se lleva a cabo con respeto. Seguramente debe ser la misma tanto en el lado derecho y el lado izquierdo de la ecuación?

Answer 1

Ver la Integración por sustitución, consulte también esta pregunta y otra pregunta en matemáticas.SE. Esta es la regla que se tiene que aplicar aquí:

$$\int_{x_0}^{x_1} f(u(x))u'(x)\,\mathrm dx = \int_{u(x_0)}^{u(x_1)} f(u)\,\mathrm du $$

Así que vamos a partir de esta ecuación: $$\frac1p \frac{\mathrm dp}{\mathrm dT}=\frac{\mathrm d\ln p}{\mathrm dT}=\frac{\Delta H}{RT^2},$$ y integrar sobre la temperatura: $$\int_{T_1}^{T_2}\frac1p \frac{\mathrm dp}{\mathrm dT}\,\mathrm dT = \int_{T_1}^{T_2} \frac{\Delta H}{RT^2}\,\mathrm dT,$$ Ahora vamos a utilizar la primera ecuación, con $f=\frac{1}{p}$, $p=u$, y $x=T$: $$\int_{T_1}^{T_2}\frac1p \frac{\mathrm dp}{\mathrm dT}\,\mathrm dT = \int_{p_1(T_1)}^{p_2(T_2)}\frac1p\,\mathrm dp=\int_{T_1}^{T_2}\frac{\Delta H}{RT^2}\,\mathrm dT$$

Pregunta extra: solo la aplicación de la regla de la cadena, es decir, $$\frac {\mathrm d}{\mathrm dx}z = \frac {\mathrm dz}{\mathrm dy} \frac {\mathrm dy}{\mathrm dx} $$ que, si se aplica conduce a $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dT}\ln p = \frac{\mathrm d\ln(p)}{\mathrm dp} \frac{\mathrm dp}{\mathrm dT} = \frac{1}{p}\frac{\mathrm dp}{\mathrm dT} .$$