Monty hall problema extendido.

Question

Acabo de aprender acerca de los Monty Hall problema y resulta bastante sorprendente. Así que pensé acerca de la extensión del problema un poco a entender más acerca de esto.

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En esta modificación de los Monty Hall Problema, en lugar de tres puertas, tenemos cuatro (o quizás $n$) puertas, una con un coche y los otros tres (o $n-1$) con una cabra (yo quiero el coche).

Tenemos que elegir cualquiera de las puertas. Después de que hemos elegido la puerta, Monty deliberadamente revela una de las puertas que tiene una cabra y nos pregunta si queremos cambiar nuestra elección.

Así que debemos interruptor de la puerta que hemos elegido, o no importa si se cambia o se quedará con nuestra elección?

Sería aún mejor si conocemos la probabilidad de ganar tras encender dado que Monty se abre $k$ puertas.

Answer 1

Me decidí a hacer una respuesta de mi comentario, sólo para la base de la misma.

Supongamos que tenemos $n$ puertas, con un coche detrás de $1$ de ellos. La probabilidad de elegir la puerta con el coche detrás de él en su primera selección, se $\frac{1}{n}$.

Monty, a continuación, abre $k$ puertas, donde $0\leq k\leq n-2$ (él tiene que dejar su puerta original y al menos una a otra puerta cerrada).

La probabilidad de coger el coche si usted elige una puerta diferente, es la oportunidad de no tener recogido el coche, que es $\frac{n-1}{n}$, los tiempos de la probabilidad de escoger ahora, que es $\frac{1}{n-k-1}$. Esto nos da un total de probabilidad de $$ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{1}{n-k-1} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n-1}{n-k-1} \geq \frac{1}{n} $$ Si Monty se abre ninguna de las puertas, $k = 0$ y que se reduce a $\frac{1}{n}$.

Para todos $k > 0$, $\frac{n-1}{n-k-1} > 1$ y así la probabilty de recoger el coche en su segunda conjetura es mayor que el $\frac{1}{n}$.

Si $k$ está en su máximo valor de $n-2$, la probabilidad de escoger un coche después de la conmutación se convierte en $$\frac{1}{n}\cdot \frac{n-1}{n-(n-2)-1} = \frac{1}{n}\cdot \frac{n-1}{1} = \frac{n-1}{n}$$For $n=3$, esta es la solución a la original Monty Hall problema.

El interruptor.

Answer 2

Vamos a la razón en el caso de $n$ windows y sólo $1$ coche.

Cuando Monty le da la oportunidad de modificar su elección inicial, definitivamente es mejor tomarla. He aquí una manera de verlo:

La probabilidad de encontrar el coche con la primera opción sólo es $\frac{1}{n}$, y esta es la misma probabilidad que tiene de ganar si se mantienen su elección inicial.

Por supuesto que va a ganar por el cambio de su elección si la intersección de dos eventos que va a suceder:

1. Usted no elige el coche con la primera opción ( $P(A) = \frac{n-1}{n}$ )

2. Tienes suerte y encuentras el coche con su segunda opción ( $P(B\mid A) = \frac{1}{n-2}$ )

Por lo que la probabilidad de ganar cambiando tu mente es el producto $$ P(A\cap B) = P(A)\cdot P( B\mid A ) = \frac{n-1}{n}\cdot \frac{1}{n-2} = \frac{n-1}{n(n-2)} > \frac{1}{n} $$ Desde $ \frac{n-1}{n-2} \to 1 $ al $n\to \infty$, nos damos cuenta de que Monty ayuda no es muy útil en el caso de muchas de windows.

Answer 3

Por no cambiar, usted puede ganar un coche si y sólo si elige correctamente inicialmente. Esto ocurre con probabilidad de $\frac{1}{4}$. Si usted cambia, usted puede ganar un coche si y sólo si elige incorrectamente inicialmente, y luego de las otras dos puertas, elige correctamente. Esto ocurre con probabilidad de $\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$. Así que si usted elige para cambiar, usted tiene más probabilidades de ganar un coche que si no cambiar.

Nunca me dijo si prefieres ganar un coche o una cabra, así que no puedo decirte qué hacer.

Answer 4

Aumentar el número de puertas es una extensión común del problema, y es analíticamente útil para dar a la gente una intuición acerca de por qué el cambio es óptima. Este no es, estrictamente hablando, la situación en la que estamos describiendo (ya que tu pregunta es acerca de la adición de una sola puerta y Monty todavía sólo la apertura de una puerta), pero es un caso similar.

Considere la posibilidad de un Monty Hall Problema de las 100 puertas: digamos que usted elija uno, a continuación, Monty se abre 98 otras puertas. Que la probabilidad es más alta la probabilidad de que usted escogió el de la derecha, desde el principio (1%), o la probabilidad de que usted no lo hizo y, por tanto, la puerta que Monty izquierda sin abrir es el verdadero ganador (99%)?

Answer 5

La última vez que me llegó a través de los Monty Hall pregunta yo escribí mi propio tester en Java. Aquí está - con el número de conjunto de puertas a las 4:

public class MontyHall {

    // How many doors.
    static final int Doors = 4;

    // Prizes.
    enum Prize {

        Goat,
        Car;
    }

    public static void main(String[] args) throws InterruptedException {
        // The number of times we would have won if we switched.
        int winWhenSwitched = 0;
        // The number of times we would have won if we didn't switch.
        int winWhenNotSwitched = 0;
        // The number of times we would have lost both ways.
        int lost = 0;

        // n doors.
        Prize doors[] = new Prize[Doors];
        // N Tests
        for (int i = 0; i < 100000; i++) {
            // Put a car behind just one door.
            pickRandomDoorForCar(doors);
            // Make my first choice.
            int firstChoice = randomDoor();
            // Open one remaining goat door. 
            int goatDoorOpened = openOneGoatDoor(doors, firstChoice);
            // What would have been my second choice - if I switched?
            int secondChoice = makeSecondChoice(doors, firstChoice, goatDoorOpened);
            // Count wins/losses.
            if (doors[firstChoice] == Prize.Car) {
                // We would have won without switching!
                winWhenNotSwitched += 1;
            } else {
                // We win if we switched to the car!
                if (doors[secondChoice] == Prize.Car) {
                    // We picked right!
                    winWhenSwitched += 1;
                } else {
                    // Bad choice.
                    lost += 1;
                }
            }
        }
        System.out.println("Wins when switched = " + winWhenSwitched);
        System.out.println("Wins when not switched = " + winWhenNotSwitched);
        System.out.println("Lost = " + lost);
        System.out.println("Proportion = " + ((double) winWhenSwitched / (double) winWhenNotSwitched));
    }

    // Open one door exposing a Goat.
    private static int openOneGoatDoor(Prize doors[], int firstChoice) {
        for (int j = 0; j < Doors; j++) {
            // Not the one already picked and must contain goat.
            if (j != firstChoice && doors[j] == Prize.Goat) {
                // Can only be one of them.
                return j;
            }
        }
        // Should never get here - TODO - Throw an exception here.
        return -1;
    }

    // Make a second choice - avoid first choice and opened door.
    private static int makeSecondChoice(Prize[] doors, int firstChoice, int goatDoorOpened) {
        int secondChoice = randomDoor();
        while (secondChoice == firstChoice || secondChoice == goatDoorOpened) {
            // Try again.
            secondChoice = randomDoor();
        }
        return secondChoice;
    }

    // Pick a random door and put a Car there.
    private static void pickRandomDoorForCar(Prize[] doors) {
        // Start all goats.
        Arrays.fill(doors, Prize.Goat);
        // Pick a random for the car.
        doors[randomDoor()] = Prize.Car;
    }
    // Start my random number generator.
    static final Random random = new Random(System.currentTimeMillis());

    // Pick a random door.
    private static int randomDoor() {
        return random.nextInt(Doors);
    }
}

Los resultados de impresión:

Wins when switched = 37483
Wins when not switched = 24888
Proportion = 1.5060671809707489

Espero que esto sea útil.