La unión finita de conjuntos compactos es compacta

Question

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico y $Y_1,\ldots,Y_n \subseteq X$ subconjuntos compactos. Entonces quiero demostrar que $Y:=\bigcup_i Y_i$ es compacto sólo utilizando la definición de conjunto compacto.

Mi intento: Deja que $(y_n)$ sea una secuencia en $Y$ . Si $\exists 1 \leq i \leq n\; \exists N \in \mathbb N \; \forall j \geq N\; y_j \in Y_i$ entonces $(y_n)$ tiene una subsecuencia convergente porque $Y_i$ es compacto. Por lo demás, $$ \forall 1 \leq i \leq n \; \forall N \in \mathbb N\; \exists j \geq N\; y_j \notin Y_i $$ Suponiendo por el momento que $n = 2$ y usando la inducción más tarde tenemos que $$ \forall N \in \mathbb N \; \exists j \geq N \; y_j \in Y_1 \backslash Y_2 $$ Con esto podemos hacer una subsecuencia $\bigl(y_{n_j}\bigr)_{j=0}^\infty$ en $Y_1 \backslash Y_2$ . Esta secuencia se encuentra en $Y_1$ y por lo tanto tiene una subsecuencia convergente. Esta subsecuencia convergente de la subsecuencia será entonces también una subsecuencia convergente de la secuencia original. Ahora podemos utilizar la inducción sobre $n$ .

Answer 1

Dejemos que $\mathcal{O}$ sea una cubierta abierta de $Y$ . Desde $\mathcal{O}$ es una tapa abierta de cada $Y_i$ existe una subcubierta finita $\mathcal{O}_i \subset \mathcal{O}$ que cubre cada $Y_i$ . Entonces $\bigcup_{i=1}^n \mathcal{O}_i \subset \mathcal{O}$ es una subcubierta finita. Eso es todo; no es necesario tratar con secuencias.

Answer 2

Parece que tu definición de compacidad es que toda secuencia tiene una subsecuencia convergente. Hay algo con lo que debes tener cuidado: estás utilizando $n$ ¡para dos cosas diferentes! Primero se utiliza como el índice más alto de su $Y_i$ s, y luego como la variable de índice de su secuencia arbitraria. En su lugar, vamos a utilizar $Y_1,...,Y_k$ como sus conjuntos compactos.

Ahora bien, tu prueba cumple con el trabajo, pero tu desvío hacia el "todo menos finito $y_n$ yacen en algún $Y_i$ La posibilidad de que "se" (cómo se empieza la prueba) es innecesaria, al igual que la inducción. Podemos llegar a ello de forma más sencilla si recordamos que una unión de conjuntos finitos finitos es de nuevo un conjunto finito.

Para $1\le i\le k,$ dejar $$\mathcal I_i=\{n\in\Bbb N:y_n\in Y_i\}.$$ (Es decir, $\mathcal I_i$ es el conjunto de índices de los elementos de la secuencia que se encuentran en $Y_i$ .) Dado que el $y_n$ están todos en $Y=\bigcup_{i=1}^kY_i,$ entonces $\bigcup_{i=1}^k\mathcal I_i=\Bbb N,$ por lo que al menos uno de los $\mathcal I_i$ es infinito (por el hecho que recordamos antes). Sin pérdida de generalidad, supongamos $\mathcal I_1$ es infinito, por lo que los puntos $y_n$ acostado en $Y_1$ forman una subsecuencia de $\{y_n\}_{n=0}^\infty.$ Entonces podemos proceder como usted lo hizo.