(Estoy asumiendo que $\mathcal A$ es el cerrado unital subalgebra de $\mathcal B$ generado por $A$.)
Aquí no voy a estar preocupado por lo que de fondo se espera que en el problema o potencial de razonamiento circular (como en, las herramientas utilizadas pueden depender en algún lugar sobre el hecho de ser demostrado).
El hecho fundamental en el corazón de continuo funcional del cálculo nos dice que hay un $*$-isomorfismo $\Gamma:\mathcal A\to C(\sigma(A))$, de tal manera que $\Gamma(1)$ es la función constante $x\mapsto 1$, e $\Gamma(A)$ es la función de $x\mapsto x$. (Las operaciones en $C(\sigma(A))$ son pointwise adición, la multiplicación y la compleja conjugación.) Si $A$ es invertible, y $f:\sigma(A)\to\mathbb C$ está definido por $f(x)=1/x$,$f\in C(\sigma(A))$, e $f=\Gamma(A)^{-1}$. Por lo tanto,$\Gamma^{-1}(f)=A^{-1}$$\mathcal A$.
Un enfoque alternativo es el uso espectral de permanencia para álgebras de Banach. Deje $\sigma_{\mathcal A}(A)$ $\sigma_{\mathcal B}(A)$ denotar los espectros de $A$ en relación al $\mathcal{A}$$\mathcal B$, respectivamente. Está claro que $\sigma_{\mathcal B}(A)\subseteq \sigma_{\mathcal A}(A)$, debido a que invertibility en $\mathcal A$ implica invertibility en $\mathcal B$. La espectral de permanencia teorema implica que el límite de $\partial\sigma_{\mathcal A}(A)$ en el plano complejo es un subconjunto de a $\sigma_{\mathcal B}(A)$. Desde $A$ es un uno mismo-adjoint elemento de la C*-álgebra $\mathcal A$, $\sigma_{\mathcal A}(A)$ es un subconjunto cerrado de la recta real, y por lo tanto $\partial\sigma_{\mathcal A}(A)=\sigma_{\mathcal A}(A)$. Por lo tanto, $\sigma_{\mathcal A}(A)=\sigma_{\mathcal B}(A)$. En particular, $0$ $\sigma_{\mathcal A}(A)$ si y sólo si $0$$\sigma_{\mathcal B}(A)$.
En el caso de que $A$ es un uno mismo-adjoint finito de la matriz, el teorema espectral rendimientos $A=\sum_k \lambda_k P_k$ donde $\lambda_1,\lambda_2,\ldots$ son los distintos valores propios de a $A$, e $P_k$ es la proyección ortogonal sobre el subespacio propio para el autovalor $\lambda_k$. El $P_k$s son auto-adjunto idempotents satisfacer $P_kP_j=0$$j\neq k$. Si $A$ es invertible, entonces a $\lambda_k\neq 0$ por cada $k$, y hay una interpolación polinomial $f$ tal que $f(\lambda_k)=1/\lambda_k$ por cada $k$. Se puede comprobar que $f(A)=A^{-1}$, y desde $f$ es un polinomio, $f(A)$$\mathcal A$.
