¿Por qué no hay ninguna analogía de completando el cuadrado para quartics y superior?

Question

Uno de los usos de completar el cuadrado en una ecuación cuadrática es encontrar a su valor crítico. Pensé que si esto podría ser posible también con cuárticas; si nada más, sería una buena manera de encontrar extrema witouth tomando un derivado y tener que resolver un cúbicos; así que traté de factor de $x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 6x + 2$$(x^2 + bx + c)^2+d$, y llegué a un inconsistente sistema de ecuaciones.

Hay alguna profunda razón por la que no podemos resolver, cuárticas el uso de la "completar el cuadrado" método?

P. S. Si es posible, favor de abstenerse de usar avanzados de álgebra abstracta de la terminología.

Answer 1

La analógica directa para grados más altos es presionado polinomios.

Para un polinomio $\;a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0\;$ la sustitución de Tschirnhausen $y = x + \frac{a_{n-1}}{n \, a_n}$ elimina el término de la segunda energía más alta. En el caso de una cuadrática, que deja sólo el término cuadrado y un término constante.

Answer 2

Cuárticas puede ser resuelto en una idea similar. Como dxiv menciona, uno puede deprimir el cuarto grado con la sustitución de $x=y-\frac b{4a}$ para obtener

$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=ay^4+c'y^2+d'y+e'$$

Para algunos de los nuevos constantes $c',d',e'$. A continuación, podemos invitar a los "completar el cuadrado" paso a paso por la configuración de este igual a cero:

$$ay^4+c'y^2+d'y+e'=0$$

Y luego restando una ecuación cuadrática de ambos lados para obtener

$$ay^4+c''y^2+e''=ny^2-d'y+m$$

Y resolver para $c'',e'',n,m$ de tal manera que podamos obtener los cuadrados perfectos:

$$(uy^2+u')^2=(vy+v')^2$$

Con lo cual podemos eliminar los cuadrados para obtener

$$uy^2+u'=\pm(vy+v')$$

y completar el cuadrado de nuevo a resolver para $y$, que resuelve para $x$.

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Por supuesto, ya que no es posible resolver de 5to grado de los polinomios y superior con los radicales... esto no va a funcionar para cualquier superior general de los polinomios.

Answer 3

Cuando completamos el cuadrado nos divide la cuadrática en un producto de dos factores lineales (idénticos) y un término constante para corregir el error. Si tuviéramos que hacer lo mismo para un quartic, habrá que esperar el término de corrección, a ser cuadrática y no lineal.