Unión de topologías

Question

Necesito probar que si $\tau_1$ y $\tau_2$ son topologías de un conjunto $X$ entonces $\tau_1 \cup \tau_2$ no es necesariamente una topología en $X$ .

Busco contraejemplos. Tengo uno: considere $X=\{a,b,c\}$ et $\tau_1=\{\emptyset, X, \{a,c\}\}$ y $\tau_2=\{\emptyset, X, \{a,b\}\}$ entonces $\tau=\{\emptyset, X, \{a,c\}, \{a,b\}\}$ pero ten en cuenta que: $\{a,b\} \cap \{a,c\} =\{a\}\notin \tau$ Por lo tanto $\tau$ no es una topología para $X$ .

¿Es correcto? ¿Algún otro contraejemplo más interesante?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Aquí tienes un ejemplo que te puede parecer "más interesante" (aunque siempre me gustan mucho los ejemplos minimalistas, como el tuyo) :

Tomemos dos espacios topológicos $X$ y $Y$ y sobre el producto, las dos topologías siguientes : $$ \tau_X=\{U\times Y | U \mbox{ is an open of } X\} \\ \tau_Y=\{X\times V | V \mbox{ is an open of } Y\} $$ Ambas son claramente topologías, y su unión no lo es (porque $(U\times Y)\cap(X\times V)\notin\tau_X\cup\tau_Y$ .