Para la afirmación A implica B, escriba que la instrucción no B implica no A.

Question

Para la siguiente declaración de Una implica B, escribir la instrucción NO B implica NO A.

Vamos $a$, $b$, y $c$ ser números reales. Si $a > 0$, entonces no existe un número real $M$ tal que, para cada número real $x$, $ax^2 + bx + c \le M$.

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Libro De Texto De La Solución

Si existe un número real $M$ tal que, para cada número real $x$, $ax^2 + bx + c \le M$, a continuación,$a \le 0$.

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Mi Solución

Si existe números reales $M$ $x$ tal que $ax^2 + bx + c > M$,$a \le 0$.

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Como yo lo entiendo, NO [para todos] y NO [$ax^2 + bx + c \le M$] debe ser equivalente a [existe] y [$ax^2 + bc + c > M$]; de hecho, este ha sido el caso con todas las anteriores preguntas similares.

Me pregunto lo que yo he entendido mal aquí, o es mi solución correcta?

Les agradecería mucho si la gente podría, por favor tome el tiempo para aclarar esto.

Answer 1

La forma lógica de la implicación que tienes es $a > 0 \implies\neg \exists M \alpha$ donde $\alpha$ sólo representa la segunda desigualdad que usted escribió en su pregunta. El contrapositivo es $\exists M \alpha \implies a \leq 0$.

Lo principal que tenemos que reconocer es que el consecuente del condicional es un negado existencial frase: "no Hay , no existe ..." En el contrapositivo, esta frase se convierte en un existenciales comunes frase: "No existe..."

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Añadido: Usted parece ser confuso cuantificador equivalencias y contrapositives. Es cierto que $\neg \exists \alpha \equiv \forall \neg \alpha$ y doblemente $\neg \forall \alpha \equiv \exists \neg \alpha$. Pero no haga falta usar esas equivalencias aquí.

Utilizamos el contrapositivo de equivalencia $A \implies B \equiv \neg B \implies \neg A.$

Ahora, de nuevo, se nos da $a > 0 \implies \neg \exists M \alpha$. Por el contrapositivo de equivalencia esto se convierte en $\neg \neg \exists M \alpha \implies \neg(a > 0)$. Podemos eliminar la doble negación, y el uso de $\neg(a>0) \equiv a \leq 0$ para obtener lo que escribí anteriormente (lo cual está de acuerdo con el libro de texto de respuesta).

La cosa a notar es que, en el contrapositivo frase, ya no hay ninguna negación a "empujar" a más de un cuantificador, por lo que el cuantificador equivalencias que escribí anteriormente no se aplican.

Answer 2

Para centrarse en la parte que es confuso, le sugiero pensar acerca de la última parte como una declaración sobre el número de $M$: en concreto, vamos a declarar $P_{a,b,c}(M)$ a ser la declaración de

"$ax^2+bx+c\leq M$ para cada número real $x$."

Así que la declaración original es: "Si $a>0$, entonces no existe ninguna $M$ que $P_{a,b,c}(M)$ es verdadero".

A continuación, el contrapositivo de la declaración es: "Si no existe un $M$ que $P_{a,b,c}(M)$ es verdadera, entonces el $a\leq 0$".

Answer 3

Deje $a, b, \text{and } c$ ser números reales. Si $a>0$, entonces no existe un número real $M$ tal que, para cada número real $x$, $ax^2+bx+c≤M$.

Vamos a desglosar esta información. La primera parte nos dice que estamos trabajando con números reales. Este será irrelevante para la discusión como los son el único tipo de números que estamos trabajando, por lo que cualquier lógica de la manipulación tendrá que ser con números reales.

El "si" parte de la instrucción: $A = a>0$. Entonces, de inmediato sabemos que la negación de esto es $a \leq 0$.

Ahora, el "entonces". El reclamo es que para cada número real $x$, no existe un número real $M$ (...) En otras palabras, no hay una sola $M$ ( ... ) para cada número real $x$. O aún más simple y ambiguamente, no hay un "one-size-fits-all" $M$ para todos los números reales. Y la condición es que $ax^2+bx+c≤M$. Sólo para resumir el "entonces" parte tiene este formato: "No existe un solo $M$ todos los $x$'s tales que esto sucede: $ax^2+bx+c≤M$." Resumiendo, es de esta manera hace que sea fácil de llegar con la negación. Sólo tengo que venir para arriba con un "genérico" contra-ejemplo.

La negación del "entonces" es: No es una sola $M$ todos los $x$'s tales que esto sucede: $ax^2+bx+c≤M$. Deje que esta declaración se llama $\neg B = C$.

Ahora usted acaba de poner juntos: (Si $\neg B, \text{then } \neg A) \iff (C \implies \neg A)$.

Answer 4

Deje $a, b,$ $c$ ser números reales. Si $a>0$, entonces no existe un número real $M$ tal que, para cada número real $x$, $ax^2 +bx+c≤M$ .

La instrucción es: $$a>0 ~\to~\neg\color{silver}{\Big(}\exists M{\in}\Bbb R~\color{silver}{\big(}\forall x{\in}\Bbb R~(ax^2+bx+c\leqslant M)\color{silver}{\big)\Big)}$$

Una contraposición de un condicional interruptores de posición de su antecedente y consecuente, y niega cada uno de ellos. Esta negación se aplica a toda la frase, no de forma individual a los componentes anidados.

$$\neg\neg\color{silver}{\Big(}\exists M{\in}\Bbb R~\color{silver}{\big(}\forall x{\in}\Bbb R~(ax^2+bx+c\leqslant M)\color{silver}{\big)\Big)}~\to~\neg(a>0)$$

Aunque en algunos casos puede "mover" la negación para el interior usando la Dualidad de las reglas y tal, es más seguro que de no hacerlo en su cabeza, a menos que usted es justamente la confianza mental legerdemain. Tomar el tomillo hacer es escribir y nudo de cometer errores.

En este caso, por el contrario, podemos inmediatamente el uso de eliminación de la Doble Negación: $$\color{silver}{\Big(}\exists M{\in}\Bbb R~\color{silver}{\big(}\forall x{\in}\Bbb R~(ax^2+bx+c\leqslant M)\color{silver}{\big)\Big)}~\to~(a\leqslant 0)$$

"Si existe un número real $M$ tal que para todos los valores reales $x$ tenemos $ax^2+bx+c\leqslant M$, $a$ no es positivo".