Representación de producto infinito de $\sin x$

Question

He tomado recientemente el interés en infinidad de productos, y estoy teniendo problemas con una prueba de que he encontrado en este archivo PDF: "Infinito Productos y Funciones Elementales":

Un paso intermedio en la búsqueda de un infinito de productos para representar a $\sin(x)$ se da de la siguiente manera:

$$\sin x=x\lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{(n-1)/2}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\frac{x^{2k}}{n^{2k+1}} \tag{2.8} $$ De todas las etapas en Euler del procedimiento, que, como un todo, representa una verdadera obra de el arte, la siguiente etapa es quizás el más crítico y decisivo. Factorizar el polinomio en (2.8) en la trigonométricas de la forma: $$\sin x=x\lim_{n \to \infty}\prod_{k=1}^{(n-1)/2}\left(1-\dfrac{(1+\cos(2k\pi/n))x^2}{(1-\cos(2k\pi/n))n^2}\right)$$

He intentado una prueba por inducción, pero sólo pudo comprobar un par de iteraciones, que apunta a un patrón, principalmente que el polinomio puede ser factorizado en el formulario $$\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} (1-a_{k,n}\frac{x^2}{n^2})$$ that leads nowhere since I couldn't find a trigonometric expression of $a_{k,n}$. Yo no puedo averiguar donde las funciones trigonométricas vino de en el lado derecho de la segunda ecuación.

Mi último intento fue convertir el producto en una suma usando el logaritmo natural, pero de nuevo esto complica las cosas aún más.

El autor parece insinuar una escuela primaria de la factorización, pero estoy empezando a tener algunas dudas. Es realmente un acercamiento elemental? Hay algunos identidad que me falta? Cualquier respuesta, o ("Socrático") sugerencia se agradece.

Answer 1

Si no insistimos en la escritura con la forma de $\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}$, una factorización es fácil que se tenía. Tenemos

$$\sum_{k = 0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2}\right\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k+1} \frac{x^{2k}}{n^{2k+1}} = \frac{\bigl(1 + i\frac{x}{n}\bigr)^n- \bigl(1 - i\frac{x}{n}\bigr)^n}{2ix}.$$

Escritura

$$1 \pm i \frac{x}{n} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{n^2}}\cdot \exp \Biggl(\pm i\arctan \frac{x}{n}\biggr)$$

vemos que

$$\frac{\bigl(1 + i\frac{x}{n}\bigr)^n- \bigl(1 - i\frac{x}{n}\bigr)^n}{2ix} = \biggl(1+\frac{x^2}{n^2}\biggr)^{n/2}\cdot \frac{\sin\bigl(n\arctan \frac{x}{n}\bigr)}{x},$$

por lo que son los ceros del polinomio

$$\pm n\tan \frac{k\pi}{n},\quad 1 \leqslant k \leqslant \biggl\lfloor\frac{n-1}{2}\biggr\rfloor.$$

Agrupar los ceros en pares de negativos, obtenemos la factorización

$$\sum_{k = 0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2}\right\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k+1} \frac{x^{2k}}{n^{2k+1}} = \prod_{k = 1}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2}\right\rfloor}\biggl( 1 - \frac{x^2}{n^2\tan^2 \frac{k\pi}{n}}\biggr),$$

puesto que el término constante del polinomio es $1$.

Lamentablemente no veo una forma natural que conduce a la forma

$$\prod_{k = 1}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2}\right\rfloor} \biggl( 1 - \frac{(1+\cos (2k\pi/n))x^2}{(1 - \cos (2k\pi/n))n^2}\biggr).$$