¿Cómo demostrar que un cardenal regular no se puede expresar como la Unión de conjuntos con menos cardinalidad?

Question

Mi pregunta es la siguiente:

Utilizando el axioma de elección muestran que:

Si un cardenal regular, $\kappa\ge\omega$, $\gamma\le\kappa$ y $\langle A_\alpha\mid\alpha\lt\gamma\rangle$ es una secuencia de conjuntos de cardinalidad menor que $\kappa$, entonces el $|\bigcup_{\alpha \lt \gamma} A_\alpha| < \kappa$

Encontré la respuesta aquí: sindicatos y cardenales Regular pero no veo donde utiliza el axioma de elección. ¡Cualquier ayuda sería mucho apreció!

Answer 1

Primero de todo, la definición de regular los cardenales no depende del axioma de elección, incluso en $\sf ZF$ regular cardenales son aquellas que no pueden ser expresados como una "pequeña unión de pequeños conjuntos". La prueba de que cada sucesor, el cardenal es regular, sin embargo, hace uso del axioma de elección, es decir, hay modelos de $\sf ZF+\lnot AC$ que $\aleph_1$ es singular, a pesar de ser el sucesor de $\aleph_0$.

En segundo lugar, usted está utilizando el axioma de elección al elegir un buen orden para $A_\alpha$. La prueba suele ir de la siguiente manera:

Suponer sin pérdida de generalidad que $A_\alpha$'s de a pares distintos. Deje $\beta_\alpha$ ser un tipo de orden de un bien de orden de $A_\alpha$, entonces podemos incrustar $\bigcup A_\alpha$ a $[0,\beta_0)\cup\bigcup[\beta_\alpha,\beta_{\alpha+1})=\delta$ donde $\delta$ es algunos ordinal. Por la regularidad de $\kappa$ tener $\delta<\kappa$ y, por tanto, $\bigcup A_\alpha$ tiene el tamaño de $<\kappa$.

Pero no siempre podemos elegir la secuencia de órdenes. Por ejemplo, la unión de countably muchos conjuntos de tamaño $2$ podría no estar bien-disponible en todos los. O el contable de la unión de conjuntos contables podrían tener cardinalidad $\aleph_1$, en cuyo caso $\aleph_1$ no es regular.