Volumen de la intersección de diez cilindros

Question

Estoy en Cálculo 2, y primero nos dieron el problema de encontrar la intersección de dos cilindros perpendiculares de igual radio.

Esto se descompone en ocho veces el volumen de un cuarto de círculo (con radio r) con secciones transversales cuadradas perpendiculares.

$$V=8\int_0^r \sqrt{r^2-x^2}^2dx=8\int(r^2-x^2)dx=8\left[ r^2x - \frac{1}{3}x^3 \right]^{r}_{0}=\frac{16}{3}r^3$$

Después de esta pregunta en el conjunto de problemas, mi profesor ha escrito "¿No te alegras de que no te haya hecho encontrar la intersección de diez cilindros?"

Suponiendo que los diez cilindros se cruzan de forma equitativa, como las caras de un icosaedro, asumo que esto haría una especie de icosaedro de caras curvas.

Mi pregunta tiene dos partes

1. ¿Puedo encontrar el volumen utilizando una base de conocimientos de Cálculo II (incluyendo un poco de multivarka)?

2. ¿Cuál es el volumen de la intersección de diez cilindros de igual radio igualmente espaciados?

Editar: La pregunta debería ser para que el eje de cada cilindro sea perpendicular a la cara de un icosaedro - ya que se trata de 10 pares de lados paralelos, deberían ser diez cilindros.

Editar 2:
Pregunta 1 se responde: No, pero tal vez. (De todos modos, esa no era la parte importante)
Pregunta 2 todavía está colgado, ya que me gustaría ver la metodología involucrada, voy a replantear el problema con mi comprensión actual del mismo.

Diez cilindros de radio r se cruzan a lo largo de las líneas perpendiculares a las caras de un icosaedro regular en el centro de cada cara. ¿Cuál es el volumen de la intersección?

He creado imágenes bastante burdas con mis limitados conocimientos de Geogebra:

Answer 1

La imagen siguiente ilustra lo que se obtiene si se cruzan diez cilindros largos infinitos de radio unitario, cuyos ejes están alineados a lo largo de las diez diagonales de un dodecaedro, unos contra otros.

$\hspace1in$

La figura resultante es muy complicada. Consta de $180$ las caras del cuadrilátero y cada cilindro contribuyen $18$ caras. Las caras que provienen del mismo cilindro han sido coloreadas con el mismo color. Por ejemplo, todas las caras rojas se encuentran en un cilindro cuyo eje apunta a lo largo del $(-1,1,1)$ dirección. El $18$ Las caras de cualquier cilindro se dividen en dos grupos. Hasta el reflejo del espejo, $12$ son congruentes entre sí. Las restantes $6$ las caras son congruentes entre sí directamente.

Si se estudia la figura con atención, se observará que los cuadriláteros se disponen en $12$ pentágonos. Cada pentágono lleva $15$ cuadriláteros y estos pentágonos formando las caras de un dodecaedro. Como "dodecaedro", un vértice $U$ de la misma se encuentra a lo largo de la dirección $(-1,1,1)$ y otra cercana $V$ se encuentra a lo largo de la dirección $(0,\phi, \phi^{-1})$ donde $\phi$ es la proporción áurea.

Para simplificar el análisis, elija un nuevo sistema de coordenadas tal que $U$ se encuentra a lo largo del $z$ -eje y $V$ en el $yz$ -plano. es decir.

$$\begin{array}{rcl} (x,y,z)_U^{old} = \sqrt{\frac38} (-1,1,1) &\mapsto& (x,y,z)_U = \frac{3}{\sqrt{8}}(0,0,1)\\ (x,y,z)_V^{old} = \sqrt{\frac38} ( 0,\phi,\phi^{-1}) &\mapsto& (x,y,z)_V = \frac{3}{\sqrt{8}}(0,\frac23,\frac{\sqrt{5}}{3})\\ \end{array} $$

Si se "amplía" la figura desde la dirección del nuevo +ve $x$ -eje y realizar una proyección ortográfica al nuevo $yz$ -plano, se ve algo como lo siguiente:

$\hspace1in$

El $18$ caras rojas ahora se encuentra a lo largo del ecuador. El cilindro que las sostiene se convierte en $$\mathcal{C} \stackrel{def}{=} \{ (x,y,z) : x^2 + y^2 = 1 \}.$$ Además, el $18$ Las caras rojas pueden verse como la unión de $12$ polígonos no simples. Cada uno de ellos es congruente con el polígono no simple $\mathcal{P}$ con vértices $AHDIGDF$ (la que está resaltada con un borde blanco) o su imagen especular.

Para calcular el volumen de la intersección, primero tenemos que calcular el área de $\mathcal{P}$ . Como se muestra en la figura anterior, podemos romper $\mathcal{P}$ en $6$ triángulos en ángulo recto:

$$\mathcal{P} = \triangle ABF \cup \triangle BDF \cup \triangle AHC \cup \triangle HDC \cup \triangle DEG \cup \triangle DIE$$

Resulta que no es tan difícil calcular el área de este tipo de triángulo rectángulo en una superficie cilíndrica. Permíteme usar $\triangle ABF$ en $\mathcal{C}$ como ejemplo.

En primer lugar, la curva $AF$ se encuentra en la intersección de dos cilindros. Los ejes de estos dos cilindros apuntan a la dirección $OU$ y $OV$ respectivamente ( $O = (0,0,0)$ es el origen, justo detrás de $A$ en la figura anterior). A partir de la figura anterior, es fácil ver $AF$ se encuentra en el plano de igual distancia entre $U$ y $V$ . Dejemos que $\alpha = \angle BAF$ y $\beta = \angle VOU$ . La pendiente de $AF$ con respecto al ecuador viene dada entonces por

$$\tan\alpha = \cot\frac{\beta}{2} = \frac{1+\cos\beta}{\sin\beta} = \sqrt{\frac{1 + \cos\beta}{1 - \cos\beta}} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}} = \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \phi^2$$

El punto $F$ es uno de los vértices del dodecaedro, no es difícil ver $\;z_F = \frac{3}{\sqrt{8}}\cdot \frac13 = \frac{1}{\sqrt{8}}$ .
Podemos parametrizar $AF$ por el mapa $$ [0,\theta_F] \ni \theta\; \mapsto\; (x,y,z) = (\cos\theta,\sin\theta,\tan\alpha\sin\theta ) \in \mathcal{C} \quad\text{ where }\quad \tan\alpha\sin\theta_F = z_F $$ Con esta parametrización, el área del $\triangle ABF$ en $\mathcal{C}$ está dada por:

$$\int_0^{\theta_F} \tan\alpha \sin\theta d\theta = \tan\alpha - \tan\alpha \cos\theta_F = \tan\alpha - \sqrt{\tan\alpha^2 - z_F^2} = \phi^2 - \sqrt{\phi^4 - \frac18 } $$

Como se puede ver en este ejemplo, dada la pendiente $k$ y la altura $h$ de de dicho triángulo rectángulo, su área en el cilindro puede calcularse utilizando la siguiente función: $$A(k,h) = k - \sqrt{k^2 - h^2}$$

Como se trata de cilindros de radio unitario, el volumen del cono abarca por $O$ y tal triángulo rectángulo es simplemente $\frac13 A(k,h)$ .

Por fuerza bruta, se pueden calcular las pendientes y alturas de los restantes $5$ triángulos en ángulo recto.
En resumen, tenemos:

$$ \begin{cases} \tan\angle BAF = \phi^2,\\ \tan\angle HAB = \frac{1}{\phi^2},\\ \tan\angle FDB = \tan\angle IDE = \sqrt{2},\\ \tan\angle CDH = \tan\angle EDG = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} \quad\text{ and }\quad \begin{cases} |z_F| = \frac{1}{\sqrt{8}},\\ |z_G| = |z_H| = \frac{1}{4\phi^2}\\ |z_I| = \frac{1}{2\phi^2} \end{cases} $$ A partir de esto, encontramos que el volumen de la intersección está dado por

$$\verb/Volume/ = \frac{10 \times 12}{3}\left[ \begin{align} & A\left(\phi^2,\frac{1}{\sqrt{8}}\right) + A\left(\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{8}}\right) + A\left(\frac{1}{\phi^2},\frac{1}{4\phi^2}\right)\\ + & 2 A\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{4\phi^2}\right) + A\left(\sqrt{2},\frac{1}{2\phi^2}\right) \end{align} \right] $$ Con la ayuda de un CAS, se puede simplificar esto a $$\begin{align} \verb/Volume/ &= 5\left(24 + 24 \sqrt{2} + \sqrt{3} - 4\sqrt{6} - 7\sqrt{15} - 4\sqrt{30}\right)\\ &\approx 4.277158048659416687225951566030890254054503016349939576882... \end{align} $$ que se trata de $2\%$ mayor que el volumen de la unidad de la esfera.

Answer 2

Segunda pregunta

Considera el ejemplo que has dado: orientar los polos de los cilindros de forma perpendicular debe dar el menor volumen de intersección posible. Si los cilindros apuntan en la misma dirección, tendrías la mayor intersección, porque los cilindros se intersecarían completamente, y a medida que te alejes de este extremo, disminuirás el volumen de intersección.

Imagina que una brocheta pasa por el centro de una esfera (que puedes imaginar como el lado largo de un cilindro), ¿cómo introducirías otra brocheta para que los puntos de entrada y salida de la esfera de la segunda brocheta estén lo más alejados posible de los otros? Deberías ver que allí serían perpendiculares.

Si tuvieras diez cilindros, eso sería tratar de resolver el problema en el que tienes diez pinchos (cilindros) para pinchar en la esfera, ahora el problema de ordenarlos se ha vuelto mucho más difícil :)

Pero puedes convencerte a ti mismo (o calcular), el hecho de que estos puntos de entrada y salida de los pinchos están lo más alejados posible entre sí, cuando están igualmente espaciados por simetría; ya que la superficie de una esfera es regular.

Primera pregunta

Así que como orientar los cilindros es un problema en sí mismo, no creo que haya una forma fácil de resolverlo con conocimientos de Cálculo II. Pero en principio se podría hacer. Sólo tendrías que tomar la integral de los cilindros de uno en uno.