Buenas tardes
Me gustaría preguntar, si alguien sabe cómo evaluar una suma
$$\sum_{k=0}^{\lambda n}{n \choose k}$$
fijo $\lambda < 1/2$ con error absoluto $O(n^{-1})$, o mejor.
En Matemáticas concretas (Graham, Knuth, Patashnik), se muestra cómo evaluar esta suma con error absoluto $O(1)$, pero no está claro para mí, cómo obtener el error absoluto mejor de forma sencilla.
Gracias de antemano.
Esto es más de un comentario extendido de una respuesta, pero usted puede encontrar que es útil.
En el Ejercicio de 9.42 de Hormigón Matemáticas (página 492 en la segunda edición), los autores establecen la fórmula asintótica $$\sum_{k=0}^{\lambda n} {n\choose k}=2^{n H(\lambda)-\lg(n)/2+O(1)}$$ donde $0<\lambda< 1/2$, $H(\lambda)= \lambda \lg({1\over \lambda})+(1-\lambda)\lg({1\over 1-\lambda})$, y $\lg$ es el logaritmo binario.
La suma de la izquierda es una pequeña fracción del total $2^n$. Tenga en cuenta que este es un multiplicativo de aproximación, la relación de la la suma y la aproximación sigue siendo limitada como $n\to\infty$, no la diferencia.
Su resultado tiene una interpretación con la probabilidad. Escribir $$\sum_{k=0}^{\lambda n} {n\choose k} =2^n\,\mathbb{P}(X_n/n\leq \lambda)$$ donde $X_n$ es un binomio$(n,1/2)$ variable aleatoria. La teoría de las grandes desviaciones sugiere una aproximación $$\mathbb{P}(X_n/n\leq \lambda)\approx \exp(-nI(\lambda))$$ donde $I$ es la tasa de función $I(x)=x\log(x)+(1-x)\log(1-x)+\log(2)$. Esto le da el factor principal en su aproximación; también dividen por $\sqrt{n}$ para más exactitud.
Si usted está dispuesto a utilizar la función de distribución normal estándar $\Phi(z)=\mathbb{P}(Z\leq z)$, luego por el teorema central del límite, tenemos $$ \mathbb{P}(X_n\leq \lambda n) =\mathbb{P}\left({X_n-n/2\\sqrt{n/4}}\leq {\lambda n-n/2\\sqrt{n/4}} \right) \approx\mathbb{P}\left(Z\leq \sqrt{n}(2\lambda-1) \right).$$ En otras palabras, tenemos la aproximación $$ \sum_{k=0}^{\lambda n} {n\choose k} =2^n\, \Phi(\sqrt{n}(2\lambda-1)).$$ Este parece ser al menos tan exacto como el Hormigón Matemáticasaproximación, y usted puede obtener más precisión mediante el uso de la "continuidad de la corrección".
Más detallada asintótica resultados para binomio de colas se pueden encontrar en este documento por Andrew Carter y David Pollard. En particular, véase el Teorema 1. Espero que encuentres lo que deseas; caza feliz!
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