Ciclo de obstrucción del colector de Stiefel

Question

Estaba leyendo sobre la interpretación de las clases de Stiefel Whitney como obstrucciones del libro de Milnor-Stasheff y me quedé atascado en un paso. El contexto es el siguiente. Sea $E \to B$ sea un haz vectorial de rango $n$ y que $V_k(\mathbb{R}^n)$ sea la variedad de Stiefel, es decir, la variedad cuyos puntos son $k$ -de vectores linealmente independientes en $\mathbb{R}^n$ . El teorema principal que quiero entender es que la reducción mod 2 de la clase de obstrucción $c_j(E)$ es igual a la clase Stiefel Whitney $w_j(E) \in H^j(B; \mathbb{Z}/2)$ .

Sea $\gamma^n \to G_n(\mathbb{R}^{n+1}) \cong \mathbb{R}P^n$ es el haz canónico sobre el grassmanniano de $n$ -aviones en $\mathbb{R}^{n+1}$ y consideremos el haz $V_1 (\gamma^n) \to G_n(\mathbb{R}^{n+1})$ cuyas fibras son $V_1(\mathbb{R}^n)$ . En su prueba utilizan el siguiente hecho:

"El cociclo de obstrucción del haz $V_1 (\gamma^n) \to G_n(\mathbb{R}^{n+1})$ asigna claramente al $n$ -celda de $\mathbb{R}P^n \cong G_n(\mathbb{R}^{n+1})$ un generador del grupo cíclico $\pi_{n-1}(V_1(\mathbb{R}^n))=\pi_{n-1}(\mathbb{R}^n - 0) = \mathbb{Z}$ "

Entiendo por qué $\pi_{n-1}(V_1(\mathbb{R}^n))=\mathbb{Z}$ . El cocycle de obstrucción n-ésimo del haz $V_1 (\gamma^n) \to G_n(\mathbb{R}^{n+1}) \cong \mathbb{R}P^n $ asigna a la celda n de $\mathbb{R}P^n$ un elemento de $\pi_{n-1}(V_1 (\gamma^n))$ . Así que si componemos con el mapa inducido por la restricción a la fibra obtenemos un elemento de $\pi_{n-1}(V_1(\mathbb{R}^n))$ . ¿Por qué este elemento es generador de dicho grupo?

Gracias.

Answer 1

Para su paquete $V_1(\gamma^n) \to G_n(\mathbb R^{n+1})$ , $V_1(\gamma^n)$ es el espacio $\{(L,v) : L \subset \mathbb R^{n+1}, v \in L, |v|=1, dim(L)=n \}$ y el mapa se "olvida $v$ ".

No estoy seguro de si Milnor y Stasheff lo hacen así, pero se puede hacer un cálculo directo para justificar su afirmación, utilizando algo parecido a las técnicas del cálculo de Schubert. Dado que $G_n(\mathbb R^{n+1}) \equiv G_1(\mathbb R^{n+1})$ por complementos ortogonales, se puede pensar en el haz como

$$\{(L,v) : L \subset \mathbb R^{n+1}, dim(L)=1, v \perp L, |v|=1\}$$

Dado un subespacio unidimensional $L$ de $\mathbb R^{n+1}$ , siempre que no sea el $x$ -en el complemento ortogonal de la esfera unitaria existe un único vector $v$ tal que su componente x sea mínimo (más negativo). Elige ese vector. Con un poco de paciencia, se puede pensar en esto como un mapa de $D^n$ a este paquete, la idea es pensar en $D^n$ como el $x=1$ avión en $\mathbb R^{n+1}$ convenientemente compactada con un punto en el infinito, y "ampliada" a lo largo del eje x. Para cada línea $L$ se puede preguntar dónde se cruza con este disco (siempre que la línea no sea el eje x), y tomar el valor $v$ con un mínimo $x$ -coordenada.

Es un ejercicio de geometría bastante sencillo demostrar que para $L$ intersección $x=1$ cerca del eje x, es un mapa de esferas de grado 1.

¿Tiene algún sentido? Imagino que Milnor tiene un argumento más hábil, pero es totalmente posible "manipular" este problema hasta la sumisión.