Si $2p+1$ es un número primo, es divisible por $(p!)^2+(-1)^p$ $2p+1$.

Question

Tengo una pregunta que es como sigue:

Si $2p+1$ es un número primo, es divisible por $(p!)^2+(-1)^p$ $2p+1$.

Cada vez que veo las cuestiones relacionadas con signo factorial, intento usar el teorema de Wilson, pero no sé el tiempo que pueda utilizar o no, si es así entonces cómo??

Por favor ayuda.

Answer 1

$p=2$ obras. Supongamos que ahora $p\ge 3$. Entonces por Teorema de Wilson $$ (p.) ^ 2 = (-1) ^ p p! \cdot (-1)(-2) \cdots (-p) \equiv (-1) ^ p (2P)! \equiv (-1) ^ {p + 1} \bmod {2 p + 1}. $$

Answer 2

Puesto que se da que $(2p+1)$ es un número primo. Por lo tanto podemos utilizar Teorema de Wilson para $2p+1$ como:

$$ ((2p + 1)-1)! + 1\equiv 0 \mod(2p + 1) $$

$$(2p)!+1\equiv 0 \mod(2p + 1)$$

$$1\times2\times3\times4\times5\times6....(p)\times(p + 1)\times(p + 2)....(2p - 1)\times(2p) + 1\equiv 0 \mod(2p + 1)$$

$$p! [(2p+1-p)]\times [2p+1-(p-1)]\times[2p+1-(p-2)]\times[2p+1-(1)]+1\equiv 0 \mod (2p+1)$$

$$p![M(2p + 1)+(-1)\times(p)\times(p-1)\times(p-2)....3\times2\times1] +1\equiv 0 \mod(2p + 1)$$

$$p![M(2p + 1)+(-1)^p {p!}] + 1\equiv 0 \mod(2p + 1)$$

$$[p!M(2p + 1)]+[(-1)^p {p!}^2] + 1\equiv 0 \mod(2p + 1)$$

Observe que $[p!M(2p + 1)]$ ya es divisible por $(2p + 1)$, por lo tanto,

$$[(-1)^p {p!}^2] + 1\equiv 0 \mod(2p + 1)$$

Que se necesitaba para ser probada.

:) :) :) :)

Answer 3

Por el teorema de Wilson ya que $2p+1$ es un número primo, $(2p)!+1$ es divisible por $2p+1$. Poner $n$ $2p+1$, entonces puede escribirse $(2p)!$, $$1\cdot (n-1)\cdot 2 \cdot (n-2) 3\cdot(n-3) \cdots p(n-p)$$ if these factors supposed be multiplied out, it is obvious that we obtain $(-1) ^ p1 ^ 22 ^ 23 ^ 2\cdots p ^ 2 $ together with some multiple of $n$.

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Por lo tanto, $1+(-1)^p(p!)^2$ debe ser divisible por $n$ y por lo tanto debe ser divisible por $(p!)^2 + (-1)^p$, es decir, $n$ $2p+1$. Esperanza de ayuda.