¿Puede proporcionarme ejemplos históricos de cómo las matemáticas puras han llegado a ser "útiles"?

Question

Estoy tratando de pensar/saber algo, pero no sé si mi premisa base es plausible. Aquí vamos.

A veces, cuando hablo con la gente sobre las matemáticas puras, suelen descartarlas porque no tienen ninguna utilidad práctica, pero supongo que según la historia de las matemáticas, las matemáticas que son útiles hoy en día fueron alguna vez matemáticas puras (No estoy tan seguro pero supongo que cuando se inventó el cálculo no tenía una aplicación práctica) .

Además, supongo que el desarrollo de las matemáticas puras es importante porque nos permite pensar en objetos no intuitivos antes de encontrarnos con algún fenómeno que sea similar a estos objetos matemáticos no intuitivos, con esto en mente ¿puede proporcionarme ejemplos históricos de matemáticas puras que se vuelvan "útiles"?

Answer 1

Los números complejos son muy útiles en ingeniería eléctrica. Un número imaginario es una idea descabellada si lo piensas: ¿¡el cuadrado de esta cosa es -1?????!?

Y sin embargo, es muy valioso a la hora de calcular las corrientes alternativas.

El "problema" de las matemáticas puras o de las ideas es que el mundo empírico es un mundo abierto (no cerrado como el de las matemáticas), y a medida que construimos cosas prácticas cada vez más nuevas sobre él, nunca se sabe qué es útil.

Digamos que el cálculo lambda y la programación funcional. Si le preguntaras a un ingeniero de SW de 30 años para qué sirve la programación funcional, la mayoría de las veces obtendrías una respuesta "¡fíjate! ¡un juguete académico tonto! inútil".

Avancemos 20 años hasta MapReduce aplicado por Google y resulta que sí, que es bastante práctico.

Werner von Braun: "La investigación es lo que hago cuando no sé lo que hago". Combínelo con la frase de Einstein "no hay nada tan práctico como una buena teoría". El resultado de este combo es: como no sabemos qué teoría es buena, tenemos que ponerlas a prueba; pero ¿cómo se pone a prueba algo que ni siquiera se ha formulado como teoría pura primero?

"De abajo arriba" es un enfoque de este tipo, pero no todo puede resolverse de esta manera.

Aunque me parece que te centras en el problema equivocado: la aplicabilidad de la teoría pura es trivial, sólo tienes que comprobar si funciona en la práctica, intenta aplicar la teoría de la gravedad de Aristóteles a disparar balas de cañón y verás que no funciona (una piedra sube por una curva y en el punto más alto de la trayectoria cae verticalmente hasta el suelo, ¿acaso Aristóteles nunca ha lanzado piedras o algo así?)

Un problema más difícil es cuando la teoría pura nos engaña en una representación errónea del mundo real, por ejemplo, la lógica clásica ha hecho un enorme daño conceptual a la representación del conocimiento en la IA y a la forma en que pensamos en los problemas (todas esas reglas lógicas tontas que no funcionan, parecidas al sketch de la "bruja" de Monty Python's Holy Grail).

P.D. Cierto documento sobre la resolución rápida de las cláusulas big Horn es la teoría detrás de la concordancia de patrones utilizada para la programación en Prolog y Erlang (tal vez haya más aplicaciones que no conozco), aunque no recuerdo el nombre del documento.

Answer 2

La mayor parte de nuestros conocimientos matemáticos actuales se desarrollaron para explicar algo ya observado empíricamente. Si nos remontamos al pasado, muchas de las primeras civilizaciones no tenían el concepto de "cero" como cantidad numérica; sin embargo, el concepto de "nada" o "ninguno" existía, y finalmente los babilonios, alrededor del año 2000 a.C., comenzaron a utilizar símbolos para "ninguno" o "cero" junto a los números, equiparando los conceptos. Newton sentó las bases de lo que hoy conocemos como cálculo (desarrollado también de forma independiente por Leibniz) para explicar y calcular matemáticamente el movimiento de los cuerpos celestes (y también de los proyectiles aquí en la Tierra). Einstein desarrolló el cálculo tensorial para establecer el fundamento matemático de la relatividad general.

Sin embargo, también puede ocurrir a la inversa. Suele ocurrir cuando las matemáticas "puras" muestran alguna "rareza", como una divergencia o discontinuidad de una fórmula "ideal" que, por lo demás, modela muy bien el comportamiento del mundo real, o algo que originalmente se consideraba una imposibilidad práctica. Entonces descubrimos que, de hecho, el comportamiento del mundo real se ajusta a las matemáticas incluso en esos "casos extremos", y que lo que entendíamos mal era el funcionamiento de las cosas. Aquí hay uno de física que toca algunas de las matemáticas más básicas de la escuela primaria y, sin embargo, desafía esos mismos fundamentos del pensamiento: temperatura absoluta negativa .

La temperatura, clásicamente, es la medida de la energía térmica de un sistema. Según esta definición, nunca puede haber menos energía en el sistema; de ahí el concepto de "cero absoluto". La mayoría de las personas "normales" se aferran a este concepto y consideran que los cero grados Kelvin son un verdadero absoluto; no se puede bajar de ahí.

Sin embargo, la definición teórica, más rigurosa, de la temperatura tiene como carácter definitorio la relación entre el cambio de energía y el cambio de entropía. Al añadir energía total a un sistema, una parte permanece "útil" como energía, mientras que otra se pierde en la entropía (desorden natural). Sigue estando ahí (Primera Ley de la Termodinámica), pero no puede hacer trabajo (Segunda Ley de la Termodinámica).

La gráfica de la temperatura utilizando esta definición tiene valores negativos computables; si la entropía y la energía están alguna vez inversamente relacionadas (la entropía se reduce al aumentar la energía, o viceversa), entonces esta fracción, y por tanto la temperatura, es negativa. Más interesante aún es que la gráfica de la temperatura como función de la energía sobre la entropía diverge en el cero absoluto; el delta de la entropía se aproxima a cero para los deltas de energía alrededor del cero absoluto, produciendo valores infinitamente positivos o negativos con una división indefinida por cero en el origen. Ese gráfico, por tanto, predice que el cero absoluto es en realidad un estado no de energía cero, sino de cambio de entropía cero, independientemente de la cantidad de energía del sistema. El cero absoluto, por tanto, podría observarse de hecho en sistemas con cantidades extremas (incluso infinitas) de energía, siempre que ninguna energía adicional añadida se perdiera en entropía.

Hasta hace poco, todos los sistemas térmicos conocidos por el hombre mostraban una relación directa entre energía y entropía. Se podía seguir añadiendo toda la energía que se quisiera, hasta el infinito, y la entropía seguiría aumentando también. Podrías seguir enfriando un sistema todo lo que quisieras, hasta que quitaras todo lo que pudieras, y la entropía también disminuiría. Una vez más, esto se confirma por nuestras observaciones cotidianas del mundo; el hielo sólido y cristalino, cuando se calienta, se convierte en agua más caótica pero generalmente predecible, que cuando se calienta más se convierte en gas menos predecible, y finalmente se descompone en sus átomos componentes aún menos predecibles, que se descompondrían en plasma.

Sin embargo, el trabajo con los láseres, y el comportamiento teórico de los mismos, nos dio un sistema térmico que tiene un "límite superior" a la cantidad de energía posible que podríamos añadir y que permanece contenida en el sistema, y además, ese límite era bastante fácil de alcanzar. Esto nos permite observar un sistema que realmente se convierte en menos caótico como más se le añade energía, porque cuanta más energía hay en el sistema, más se acerca a su límite superior de estado de energía total y, por tanto, menor es el número de partículas del sistema que se encuentran en un estado inferior al más alto (y, por tanto, aumenta la capacidad de predecir con precisión el estado de energía de cualquier partícula arbitraria).

En el otro lado del espectro, noticias recientes han informado de que los científicos han producido lo contrario; pueden conseguir que la entropía aumentar por eliminando energía del sistema. Los trabajos con superfluidos a temperaturas extremadamente frías han demostrado que en un punto crítico de eliminación de energía del sistema, las partículas que lo componen ya no tienen energía suficiente para mantener la fuerza electromagnética que las atrae y repele entre sí en su estado de energía más bajo (que es también su estado más ordenado). Pierden la estructura ordenada que define a la materia convencional y comienzan a "fluir" unas alrededor de otras sin resistencia (viscosidad cero). En ese punto crítico, se produce un aumento de la entropía como resultado de la eliminación de energía; las partículas se vuelven menos predecibles en cuanto a su posición y dirección de movimiento cuando se enfrían, en lugar de nuestra idea clásica de que las cosas que se enfrían se vuelven más ordenadas. En este punto, hemos alcanzado la "temperatura absoluta negativa".

Así, la temperatura parece mostrar una "envoltura"; a medida que la energía aumenta hasta el infinito, eventualmente la cantidad de ella que puede estar en entropía disminuirá, rompiendo aparentemente la Primera Ley de la Termodinámica y permitiéndonos obtener más energía del sistema que la cantidad incremental que añadimos (pero no más que la cantidad total de energía introducida en el sistema, por lo que la Primera Ley sigue siendo válida). Dado que ese umbral se alcanza (en un sistema no ligado) en estados de energía infinitos, nunca llegaremos a él con la mayoría de nuestros sistemas térmicos cotidianos, pero podemos verlo en un sistema ligado, y podemos "dar la vuelta" desde el extremo inferior eliminando energía para alcanzar una temperatura absoluta negativa. Esto está respaldado por la observación del recíproco de la temperatura, que es la beta termodinámica o "perk". Esta fracción, al colocar el delta de entropía cero en el numerador, es perfectamente continua para todos los valores reales del dominio, incluido el cero.

Answer 3

La teoría de grupos es habitual en la mecánica cuántica para representar familias de operadores que poseen determinadas simetrías. Puede encontrar algo de información aquí .

Answer 4

La topología algebraica ha encontrado aplicaciones en la minería de datos (por tanto, en la investigación del cáncer, creo), en el campo del análisis de datos topológicos. Véase http://www.guardian.co.uk/news/datablog/2013/jan/16/big-data-firm-topological-data-analysis

Answer 5

El desarrollo de Turing de la computabilidad que condujo a la base teórica de la computación.

Como nota personal, me enorgullece tratar con modelos de ZF sin el axioma de elección y todo tipo de resultados de consistencia extraños. La única forma en que un conjunto amorfo y la combinatoria D-finita podrían ser utilizados para "usos prácticos" es cuando probamos que el universo es realmente un buen modelo para un conjunto D-finito infinito, y podemos aplicar todo tipo de teoremas locos no CA para argumentar sobre las propiedades del universo.

La única razón por la que esto resultaría realmente asombroso es que podría invalidar partes de la mecánica cuántica (véase El axioma de elección en la teoría cuántica ).