¿Puede proporcionarme ejemplos históricos de cómo las matemáticas puras han llegado a ser "útiles"?

Question

Estoy tratando de pensar/saber algo, pero no sé si mi premisa base es plausible. Aquí vamos.

A veces, cuando hablo con la gente sobre las matemáticas puras, suelen descartarlas porque no tienen ninguna utilidad práctica, pero supongo que según la historia de las matemáticas, las matemáticas que son útiles hoy en día fueron alguna vez matemáticas puras (No estoy tan seguro pero supongo que cuando se inventó el cálculo no tenía una aplicación práctica) .

Además, supongo que el desarrollo de las matemáticas puras es importante porque nos permite pensar en objetos no intuitivos antes de encontrarnos con algún fenómeno que sea similar a estos objetos matemáticos no intuitivos, con esto en mente ¿puede proporcionarme ejemplos históricos de matemáticas puras que se vuelvan "útiles"?

Answer 1

En mi opinión, cualquier matemática pura generada por un cerebro humano (y probablemente existen y seguramente existirán otros tipos en un futuro próximo) está al menos motivada por algo que existe realmente en el mundo de la experiencia humana.

Pero una vez que el trabajo se pone en marcha en una nueva idea en algún área, ésta adquiere vida propia y, una vez pulida y refinada, tendrá un aspecto muy diferente al que tenía al principio. El cálculo es un gran ejemplo de un área muy refinada de las matemáticas: se puede ver en la notación, que ha sido pulida por generaciones de uso intensivo y es muy potente y expresiva (y normalmente los estudiantes tardan mucho en aprenderla bien).

Y la magia consiste en que cada vez que un cerebro humano aprende una nueva pieza de matemáticas puras, supervisa su propia experiencia (humana) en busca de cualquier relevancia/conexión y aumentan las posibilidades de descubrir una nueva aplicación.

Así que no estoy seguro de que haya ocurrido nunca que una pieza de matemática pura se haya inventado sin motivo y haya sido absolutamente inútil hasta que se descubrió una aplicación más tarde. Y a la inversa, estaría dispuesto a apostar que casi todos los aspectos de la matemática aplicada han sido la inspiración de un trabajo teórico puro de algún tipo (independientemente de que haya conducido a algún avance significativo o no).

Supongo que lo que intento decir es que en las matemáticas (como en toda la ciencia) el diálogo entre la teoría y la práctica va en ambas direcciones y nunca se detiene.

Answer 2

Yo diría que básicamente todos los logros tecnológicos se basan en las matemáticas puras. La relación es a menudo larga y distante, pero diría que sin las matemáticas puras no serían posibles. De hecho, creo que sería bastante difícil encontrar un logro tecnológico que no se basara en resultados de las matemáticas puras.

Por poner algunos ejemplos:

• Informática. Los ordenadores se basan en las investigaciones de Turing y Church sobre qué funciones matemáticas son computables en algún sentido. En aquel momento, era matemática pura, pero ahora es la base de lo que usamos a diario. La CS utiliza muchos conceptos de las matemáticas puras, empezando por los números binarios, la teoría de números, etc.
• Física. La física evolucionó de la mano de las matemáticas. Cosas que antes eran puramente matemáticas se utilizaron posteriormente en la física,. Sin estas matemáticas puras, no tendríamos muchos logros en física, simplemente porque los físicos no tendrían las herramientas teóricas necesarias para trabajar. Y esto significa, que no tendríamos logros de ingeniería que las utilicen. Para dar algunos ejemplos:
  • Sin el cálculo y los infinitesimales, no tendríamos estática que es indispensable para la mayoría de las arquitecturas complejas de hoy en día.
  • Grupos de Lie una idea puramente teórica, se convierten en algo muy útil en física de partículas que es la base de muchos de los avances tecnológicos actuales.
• La probabilidad y la estadística se utilizan en todas partes. Toda investigación empírica es (o debería ser) validada mediante métodos estadísticos.
• Y algo menos serio - sin la topología, no tendríamos tan muchas maneras de ponerse una corbata .

Answer 3

La topología ayuda a comprender las estructuras moleculares. Vea este libro, Cuando la topología se une a la química: Una mirada topológica a las moléculas molecular escrito por Erica Flapan. He hojeado algunos capítulos del el libro y era muy interesante.

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Relacionado: Aplicaciones reales de la topología

Answer 4

Procesos de recuento y martingalas son objetos que veo como objetos puramente matemáticos/probabilísticos. Sin embargo, son objetos fundamentales a la hora de describir la teoría de análisis de supervivencia - El análisis de supervivencia es una rama que se utiliza en muchos estudios basados en registros, por ejemplo, en epidemiología.

Un modelo simple (un modelo sin censura) de análisis de supervivencia es el siguiente: Sea $X_1,\ldots,X_r$ sean variables aleatorias iid con valores en $(0,\infty)$ , donde $X_i$ es la duración de la $i$ a la persona. Sea $X_i$ tienen densidad $f$ y la función de distribución $F$ con $F(t)<1$ para todos $t\in (0,\infty)$ . Poner $$ N_t^i=1_{\{X_i\leq t\}},\quad i=1,\ldots,r, $$ y $$ N_t=\sum_{i=1}^r N_t^i, $$ es decir $N_t$ es el número de individuos muertos antes de $t$ . Entonces $(N_t^1,\ldots,N_t^r)_{t\geq 0}$ es un $r$ -proceso de recuento de dimensiones y $(N_t)_{t\geq 0}$ es un proceso de recuento. Ahora, la teoría de las martingalas locales y la covariación predecible pueden utilizarse para derivar estimadores como el Estimador Nelson-Aalen de la tasa de riesgo acumulada, es decir, la función $$ \Lambda(t)=-\log S(t), $$ donde $S(t)=1-F(t)$ es la función de supervivencia.

Answer 5

¡Códigos de corrección de errores!

Cuando se empezó a hablar de los CD, los ingenieros de Phillips estaban discutiendo en Japón con la empresa Sony sobre las normas, y los de Sony dijeron que no estaban contentos con las normas de corrección de errores establecidas por Phillips. Así que sus ingenieros volvieron a Eindhoven y convocaron a gente para preguntar quién era el mejor experto de Europa en esta nueva ciencia de la corrección de errores. Les dijeron que era un profesor de teoría de números, J. van Lint en Eindhoven. He comprobado esta historia con él.

Me han dicho que la alta calidad de las imágenes de las sondas espaciales Voyager no sería posible sin la corrección de errores, debido a la debilidad de las señales, y al espacio ruidoso.

La corrección de errores está bastante extendida, desde los discos duros, pasando por los simples del ISBN, hasta los avanzados, véase por ejemplo el artículo de wikipedia Utiliza sofisticadas matemáticas puras.

El primer código de este tipo, el código Hamming, fue inventado por un investigador de los Laboratorios Bell, cuando ejecutó programas durante el fin de semana, y volvió para descubrir que "su programa tiene un error". Se juró a sí mismo, y pensó: "Si puede encontrar un error, ¿por qué no puede corregirlo?"