Demostrando que el grupo libre en dos generadores es el % de coproductos $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$$\textbf{Grp}$

Question

Quiero mostrar que el grupo en dos elementos $F(\{x,y\})$ es el subproducto $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$$\textbf{Grp}$. La idea es utilizar la característica universal de la libre grupos para demostrar que $F(\{x,y\})$ satisface el universal propiedad de co-productos en $\textbf{Grp}$. A continuación es mi intento de demostrar esto. Es esto correcto? y también estoy teniendo problemas para extender este resultado a la libre grupo en $n$ elementos. Cualquier ayuda/comentarios serán apreciados. Gracias

Deje $G$ ser cualquier grupo. Definir $\gamma:\{x,y\}\rightarrow \mathbb{Z}$ a ser el conjunto de mapas que envían $x$ para el generador de $1$ $y$ a la identidad. Para los medios de conjunto, vamos a $J:\{x,y\}\rightarrow F(\{x,y\})$ ser el mapa del juego nativo para el grupo libre. El próximo denotar $\iota:\mathbb{Z}\rightarrow F(\{x,y\})$ a ser la inclusión de mapas, que envía a $1$ para el generador de $x$. Ahora considere lo que hemos logrado hasta ahora

Ahora supongamos que tenemos un grupo homomorphism $f:\mathbb{Z} \rightarrow G$, $f\circ \gamma$ es un conjunto de mapas de$\{x,y\}$, por lo que por la característica universal de la libre grupos existe un único grupo de homomorphism $\phi:F(\{x,y\})\rightarrow G$ tal que

los desplazamientos. Ahora para demostrar que $F(\{x,y\})$ es el subproducto $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$$\textbf{Grp}$, debemos mostrar que $f=\phi\circ\iota$, que es el siguiente diagrama conmuta

Yo reclamo que de hecho lo hace. A partir de la conmutatividad del diagrama de segundo, tenemos que $f\circ\gamma=\phi\circ j$. De ello se sigue que $$f\circ\gamma(x)=f(1)=\phi(x)=\phi\circ j(x) \text{ and } f\circ\phi(y)=f(0)=\phi(y)=\phi\circ j(y)=e_G $$

Observe que $\phi\circ\iota(1)=\phi(x)=f(1)$, lo que demuestra que la homomorphism $\phi\circ\iota$ $f$ está de acuerdo para el generador de $\mathbb{Z}$ $\phi\circ\iota=f$ La conmutatividad de la tercera diagrama está confirmado, demostrando que $F(\{x,y\})$ es el subproducto $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$ (ya tenemos existencia $\phi$ a partir de la característica universal de la libre grupos, pero no la singularidad en este escenario?).

Answer 1

Usted está trabajando muy duro. Voy a asumir que usted está convencido de que $\mathbb{Z}$ es el grupo en un generador, lo que significa que usted está convencido de que

$$\text{Hom}(\mathbb{Z}, G) \cong G$$

(donde la RHS debería ser en realidad el conjunto subyacente de $G$ pero estoy omitiendo que me estoy aplicando el conjunto subyacente functor). Una forma de estado de la característica universal de la subproducto es que

$$\text{Hom}(X \sqcup Y, Z) \cong \text{Hom}(X, Z) \times \text{Hom}(Y, Z)$$

a partir de la cual se deduce que

$$\text{Hom}(\mathbb{Z} \sqcup \mathbb{Z}, G) \cong G \times G$$

y esta es también la característica universal de la libre grupo en dos generadores, por lo que está hecho por el Yoneda lema. El argumento es exactamente el mismo para el grupo libre en $n$ generadores, y de hecho en un conjunto de generadores.

De manera más abstracta, el olvidadizo functor $\text{Grp} \to \text{Set}$ tiene un adjunto a la izquierda, el grupo de free functor. Como un adjunto a la izquierda, conserva colimits, y, en particular, co-productos. Pero cada set $X$ es el subproducto de $X$ copias de la $1$-elemento del conjunto, por lo que se deduce que el grupo $F_X$ es el subproducto de $X$ copias de $\mathbb{Z}$.