Elaboración de cálculo en matemáticas finitistic

Question

Yo era solo por curiosidad, si no eran algunos de los enfoques para demostrar los principales teoremas de cálculo en finitistic, como los sistemas de PRA?

Soy consciente de algunas de las preguntas que ya habían sido considerados, por ejemplo,

http://mathoverflow.net/questions/551/does-finite-math-need-the-axiom-of-infinity

Matemáticas sin el infinito

Si todos los conjuntos finitos, ¿cómo podrían los números reales se define?

En la última, T.. las reclamaciones que

Los números reales y secuencias infinitas no son directamente los objetos de la finito de ZF universo, pero no hay un sentido claro en el que real (y complejo y funcional), el análisis puede ser realizado en lo finito ZF o en PA.

Además, en

http://mathoverflow.net/questions/33280/how-would-calculus-be-possible-in-a-finitist-axiom-system

Richard Borcherds dice, algunos materiales se pueden encontrar en

Simpson, Stephen G. Subsistemas de segundo orden de la aritmética. Perspectivas en la Lógica. Cambridge University Press, Cambridge, Asociación para la Lógica Simbólica, ISBN: 978-0-521-88439-6 MR2517689,

donde se puede empezar con un sistema equivalente a la PRA y, por algunas extensiones, formular teoremas de cálculo en estos sistemas y las pruebe.

Las preguntas son:

1. ¿Hay papeles o libros además de los Simpson sobre la construcción de cálculo en los sistemas equivalente a ZF-$\infty$ o PRA?
2. En particular, me gustaría apreciar el dictamen de un experto en este libro: el Feng Ye. Estricto Finitism y la Lógica de Aplicaciones Matemáticas. ISBN-10: 9400713460. 2011. El proyecto está disponible en: http://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CDEQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.phil.pku.edu.cn%2Fcllc%2Fpeople%2Ffengye%2FfinitismAndTheLogicOfMathematicalApplications.pdf&ei=HfCFUs28HcrIswbWpYGoCw&usg=AFQjCNHsWpaegaWPwEYRIdn6hp706Yac7Q&bvm=bv.56643336,d.Yms
3. (La más importante) Relativas $\text{ACA}_{0}$, si puedo, decir, probó algunos teorema de cálculo en este sistema, puedo interpretar en PA?

ACTUALIZACIÓN 1: He encontrado esta presentación dedicado al Feng Ye del libro:

http://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CDEQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.phil.pku.edu.cn%2Fcllc%2Fpeople%2Ffengye%2FstrictlyFinitisticSystemForAppliedMath.ppt&ei=WcF4UujfGoaJtQaStYD4Ag&usg=AFQjCNHby_7vEbB5FgKcT2imha_lnSbUIQ&bvm=bv.55980276,d.Yms&cad=rja

Si alguien no se molestan en leer el libro, esta presentación puede ser de ayuda, sólo por interés.

ACTUALIZACIÓN 2 (sobre libro de Simpson y la pregunta 3): Hubo una discusión sobre los fundamentos de las matemáticas con Harvey Friedman: http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2003-May/006533.html

Descripción corta se da en: http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2003-May/006489.html

Answer 1

Un problema aquí es el significado de "finitistic sistema". $\mathsf{PRA}$ es generalmente considerado como un finitistic sistema, pero cada modelo de $\mathsf{PRA}$ es infinito. Por lo que la mera presencia de un axioma del infinito no es un obstáculo para que un sistema sea finitistic.

También, es bien sabido que si dejamos $\mathsf{ZFC}^i$ $\mathsf{ZFC}$ con el axioma de infinitud reemplazado por su negación, a continuación, $\mathsf{ZFC}^i$ es mutuamente interpretables con la aritmética de Peano. La aritmética de Peano no es generalmente considerado como un finitistic sistema, y por lo tanto no es $\mathsf{ZFC}^i$. Por lo tanto eliminar el axioma de infinitud no hacer $\mathsf{ZFC}$ se finitistic.

En el libro de Simpson, un poco de cálculo se ha formalizado en un sistema de $\mathsf{WKL}_0$. Este sistema no es en sí mismo finitisitic, pero es conservador sobre $\mathsf{PRA}$ $\Pi^0_2$ frases. Así que a pesar de $\mathsf{WKL}_0$ no es finitistic, si se comprueba que es una frase de la forma que una finitist reconocer, que la sentencia es finitistically comprobable (en $\mathsf{PRA}$). Este es el sentido en el que el libro de Simpson hace algunos cálculos en una forma compatible con las finitism.

Para hacer el cálculo en $\mathsf{PRA}$ u otro de primer orden de la aritmética, de la que sería necesaria para representar a todos los objetos en cuestión con números naturales. El resultado sería algo así como una forma débil de "estilo ruso" computable análisis. Que es la escuela de computable análisis en el que todos los objetos son codificadas por los números naturales.