el espacio hausdorff y la función continua

Question

Esta es la pregunta que no pude resolver aunque lo he estado pensando desde hace un par de días.

Deje que $f$ ser una función continua de $(X, \mathcal {T})$ a $(X, \mathcal {T})$ . Demuestra que si $X$ es un espacio Hausdorff, entonces $$\{x \in X : f(x)=x\}$$ está cerrado.

Si $X$ es un $T_1$ espacio, ¿podemos seguir teniendo la misma conclusión? Si no es así, proporcione un contraejemplo.

Answer 1

Ya que hay varias respuestas a la primera pregunta, permítanme dar un ejemplo para la segunda. Un buen ejemplo para un espacio T1 que no es T2 es $ \mathbb {N}$ con la topología cofinita, es decir, los conjuntos cerrados son los finitos. Entonces toma el mapa $f: \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ dado como $f(x)= \begin {cases}x& \text {$ x $ odd} \\\frac {x}{2}& \text {$ x $ even.} \end {cases}$ Lo dejaré como ejercicio para que muestres que este mapa es continuo (tienes que mostrar que las preimágenes de conjuntos finitos son finitas). Pero $\{f(x)=x\}$ es el conjunto de números impar, que ciertamente no es finito.

Answer 2

Deje que $G=\{x \in X : f(x)=x\}$ . Queremos probar que $G$ está cerrado, por lo que $G^c$ está abierto.

Así que toma $y \in G^c$ . Como X es Hausdorff podemos encontrar dos conjuntos abiertos U y V para que: $y \in U$ , $f(y) \in V$ y $U \cap V= \emptyset $ . Ya que f es continuo podemos encontrar un conjunto $V'$ s.t. $f(V') \subset V$ . El conjunto $W=V' \cap U$ está abierto y no está vacío, ya que $y \in W$ . Además, vemos: $$f(W) \cap W= \emptyset $$ Por lo tanto $G^c$ está abierto.

Answer 3

Los hechos básicos sobre redes : Una función $f: X \to Y$ es continua en $x \in X$ si y sólo si por cada red $(x_ \alpha )$ en $X$ convergiendo a $x$ tenemos que $f(x_ \alpha ) \to f(x)$ y un conjunto $A \subseteq X$ se cierra si y sólo si por cada red convergente $(x_ \alpha )$ tomando valores en $A$ el límite está en $A$ .

Lema 1 . El gráfico de una función continua $f: X \to Y$ es homeomórfico a $X$ como un subespacio de $X \times Y$ a través del mapa de proyección $ \pi_1 ((x,y)) = x$ .

Prueba . Sólo tenemos que verificar que la inversa $x \mapsto (x,(f(x))$ es continua. Deje que $(x_ \alpha )$ ser una red que converja con $x$ . Luego $f(x_ \alpha ) \to f(x)$ por la continuidad de $f$ y por las propiedades de la topología del producto $(x_ \alpha ,f(x_ \alpha )) \to (x,f(x))$ como se desea.

Lema 2 . El gráfico de una función continua en un espacio Hausdorff está cerrado.

Prueba . Deje que $f: X \to Y$ ser como en Lemma 1 con $Y$ Hausdorff. Supongamos que tenemos una red $(x_ \alpha ,f(x_ \alpha ))$ convergiendo a $(x,y) \in X \times Y$ . Debemos mostrar que $(x,y)$ está en el gráfico de $f$ es decir. $y = f(x)$ . Ciertamente tenemos $x_ \alpha \to x$ así que $f(x_ \alpha ) \to f(x)$ y como los límites de las redes en los espacios de Hausdorff son únicos, tenemos $y=f(x)$ como se desea.

Ahora estamos listos para la prueba de que su set está cerrado.

Propuesta 3 . Deje que $X$ ser Hausdorff y $f,g: X \to X$ continua. Luego $E = \{x \in X \mathrel | f(x)=g(x)\}$ está cerrado en $X$ .

Prueba . Por los lemas de arriba $F$ y $G$ los gráficos de $f$ y $g$ respectivamente, están cerradas en $X \times X$ y $E = \pi_1 (F \cap G)$ es la imagen de un conjunto cerrado bajo un homeomorfismo, así que $E$ está cerrado en $X$ .

El hecho de que su conjunto esté cerrado es consecuencia del uso de lo anterior con el mapa de identidad como $g$ .