Llene un cubo con cubos pequeños con longitudes de laterales enteros diferentes

Question

Nos dan dos (potencialmente ilimitado) juegos de cubos, digamos rojo cubos (con el lado de la $n$) y cubos blancos (con el lado de la $m$) $m,n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, m \neq n$ (supongamos $n>m$).

Utilizando la misma cantidad de glóbulos rojos y blancos de los cubos, de "construir" un cubo más grande, en el sentido de que este más grande del cubo es de triangulación con los cubos pequeños.

¿Cuál es la longitud mínima $\mathfrak{L}_{n,m}$ de el lado de el cubo grande (como una función de la $m$$n$)? (¿Cuántos cubos pequeños se utilizan?)

Como se nota por @achillehui, tenemos

$$ \mathfrak{L}_{an,am} = a \mathfrak{L}_{n,m}, \quad a \in \mathbb{N} \setminus \{0\},$$

así que es suficiente con considerar el caso de $\text{gcd}(n,m)=1.$

• $\mathfrak{L}_{n,m}^1 = \text{lcm}(l,\frac{L}{l^2}(m^3 + n^3))$ es una solución de (marque la respuesta más abajo para los detalles)

• $\mathfrak{L}_{n,m}^2 = n (m^3 + n^3)$ es una solución (gracias a @Logophobic)

• $\mathfrak{L}_{n,m}^3 = m (m^3 + n^3)$ $\mathfrak{L}_{n,m}^4 = 2m (m^3 + n^3)$ son soluciones para algunos de los pares $(n,m)$.

Ninguno de ellos es mínimo, ya que tenemos

$$ \mathfrak{L}_{4,2}^1 = 36, \quad \mathfrak{L}_{4,2}^2 = 288 $$

mientras que $\mathfrak{L}_{4,2} = 12$ es también una solución.

Answer 1

Escribo aquí lo que tengo en mente; esto demuestra que no existe una solución para todos los pares de $(n,m)$.

• Paso 0: Vamos A

$$ l = \text{lcm}(m,n) \\ L= \text{lcm} \left( \frac{l^2}{m^2},\frac{l^2}{n^2} \right) \\ \mathfrak{L} = \text{lcm} \left(l, \frac{L}{l^2} (m^3 + n^3) \right) $$

• Paso 1: nos Vamos a denotar por $C_1$ un cuadrado rectángulo de tamaño $l \times l \times n$, hecho de $(l/n)^2$ rojo cubos.

• Paso 2: nos Vamos a denotar por $C_2$ un cuadrado rectángulo de tamaño $l \times l \times m$, hecho de $(l/m)^2$ cubos blancos.

• Paso 3: Cuadrado rectángulo $C_3$ es realizado por el apilamiento de hasta algunos $C_1$'s de modo que contiene L rojo cubos. Para ello, ponemos la pila de $ \frac{L}{\frac{l^2}{n^2}} = \frac{L n^2}{l^2}$ cuboides $C_1$; desde la altura de $C_1$ es $n$, $C_3$ tiene unas dimensiones

$$ l \times l \times \frac{L n^3}{l^2} $$

• Paso 4: de forma análoga al Paso 3, cuadrado, rectángulo $C_4$ es obtenido por el apilamiento de hasta $\frac{L m^2}{l^2}$ cuboides $C_2$, contiene $L$ cubos blancos y tiene unas dimensiones

$$ l \times l \times \frac{L m^3}{l^2} $$

• Paso 5: ahora nos la pila de un paralelepípedo $C_3$ y un cuboide $C_4$, y esto da cuboide $C_5$; $C_5$ contiene $2 L$ cubos ($L$ rojo y $L$ blanco) y tiene unas dimensiones

$$ l \times l \times \left( \frac{L n^3}{l^2} + \frac{L m^3}{l^2} \right) = l \times l \times \frac{L }{l^2} (m^3 + n^3)$$

• Paso 6: el Uso de $$\frac{\mathfrak{L}}{l} \cdot \frac{\mathfrak{L}}{l} \cdot \frac{\mathfrak{L}}{\frac{L }{l^2} (m^3 + n^3)} $$ cuboids $C_5$, we can build the big cube, with dimensions $\mathfrak{L} \times \mathfrak{L} \times \mathfrak{L}$. This cube contains $$ \frac{\mathfrak{L}}{l} \cdot \frac{\mathfrak{L}}{l} \cdot \frac{\mathfrak{L}}{\frac{L }{l^2} (m^3 + n^3)} \cdot 2L = \frac{2 \mathfrak{L}^3}{m^3 + n^3} $$ cubos pequeños (a mitad rojo y mitad blanco).

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Caso $(n,m)=(3,2)$

Aquí es lo que tenemos al $n=3$ $m=2$ se ponen en la solución.

• Tenemos $l=6, L=36, \mathfrak{L}=210$.

• Cuboide 3: $6 \times 6 \times 27$, hecha de 36 rojo cubos.

• Cuboide 4: $6 \times 6 \times 8$, hecha de 36 cubos blancos.

• Cuboide 5: $6 \times 6 \times 35$, hecha de 36 rojo cubos y 36 cubos blancos (cuboide 3 + cuboide 4)

• Cubo: $210 \times 210 \times 210$ con $7350 (=35 \cdot 35 \cdot 6)$ cuboides 5; hay $264600 (=7350 \cdot 36)$ cubos blancos y $264600$ rojo cubos.

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Caso $\text{GCD}(m,n)=1$

Si $m$ $n$ son coprime, entonces la expresión se puede simplificar

$$ l = mn, \quad L= m^2 n^2, \quad \mathfrak{L}=m n (m^3 + n^3) $$

$ 2 m^3 n^3 (m^3 + n^3)^2$ cubos son utilizados ($m^3 n^3 (m^3 + n^3)^2$ para cada color).

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Caso $n=a m$

$$ l = n, \quad L= a^2, \quad \mathfrak{L}= n (1 + a^3) $$

$ 2 n^3 \left(1 + \left(\frac{n}{m}\right)^3\right)^2$ cubos son utilizados ($n^3 \left(1 + \left(\frac{n}{m}\right)^3\right)^2$ para cada color).

Answer 2

La solución no es mínima. Voy a dar un par de ejemplos.

He sugerido anteriormente que el $\mathfrak{L} = m(m^3+n^3)$ es siempre una solución. Esta suposición resultó ser falsa. Sin embargo, $\mathfrak{L} = n(m^3+n^3)$ es una solución, aunque no siempre mínima.

Caso $(n,m)=(3,2) : \mathfrak{L} = m(m^3+n^3) = 70$

• Cube $70 \times 70 \times 70$ puede ser llenado con $(m^3+n^3)^3=42,875$ cubos $m$
• Reemplace $n^3(m^3+n^3)^2=33,075$ cubos $m$ $m^3(m^3+n^3)^2=9,800$ cubos $n$
• Cube$70 \times 70 \times 70$, a continuación, contiene $9,800$ cada uno de los cubos $m$ $n$

Caso $(n,m)=(5,2) : \mathfrak{L} = n(m^3+n^3) = 665$

• Cube $665 \times 665 \times 665$ puede ser llenado con $(m^3+n^3)^3=2,352,637$ cubos $n$
• Reemplace $m^3(m^3+n^3)^2=141,512$ cubos $n$ $n^3(m^3+n^3)^2=2,211,125$ cubos $m$
• Cube$665 \times 665 \times 665$, a continuación, contiene $2,211,125$ cada uno de los cubos $m$ $n$

Caso $(n,m)=(4,2) : \mathfrak{L} = 12$

• Cube $12 \times 12 \times 12$ puede ser llenado con $27$ cubos $n$
• Reemplace $3$ cubos $n$ $24$ cubos $m$
• Cube$12 \times 12 \times 12$, a continuación, contiene $24$ cada uno de los cubos $m$ $n$

He revisado mi solución para $\mathfrak{L}_{n,m}=km$ se manifestó más claramente. También he tenido en cuenta achille tono de la observación de que $\mathfrak{L}_{dn,dm} = d\mathfrak{L}_{n,m}$, por lo que esta solución supone $\text{gcd}(n,m)=1$ $$\mathfrak{L}_{dn,dm} = d\mathfrak{L}_{n,m}=kdm\\ \text{where $k$ is the least positive integer satisfying}\\(m^3+n^3)|k^3 \text{ and } \left\lfloor\frac{k}{n}\right\rfloor^3 \ge \frac{k^3}{(m^3+n^3)}$$ Por desgracia, esto no garantiza una solución mínima, porque también podríamos encontrar $$\mathfrak{L}_{dn,dm} = d\mathfrak{L}_{n,m}=kdn\\ \text{where $k$ is the least positive integer satisfying}\\(m^3+n^3)|k^3 \text{ and } \left\lfloor\frac{k}{m}\right\rfloor^3 \ge \frac{k^3}{(m^3+n^3)}$$ Que en algunos casos tendrán que proporcionar una solución mínima. Caso en cuestión: $$\mathfrak{L}_{5,3}=38n=190 \lt \mathfrak{L}_{5,3}=76m=228$$ La prueba de que tales cubos pueden ser construidas:

• Cubo con la longitud de la arista $kdm$ tienen $\frac{(km)^3}{(m^3+n^3)}$ de cada tamaño del cubo.
• Este es un entero debido a $(m^3+n^3)|k^3$
• El cubo puede ser llenado con $k^3$ cubos $dm$
• $n^3$ cubos $dm$ en sub-cubo con la longitud de la arista $dnm$ puede ser reemplazado con $m^3$ cubos $dn$
• Esta sustitución debe ser repetido $\frac{k^3}{(m^3+n^3)}$ de veces para que el cubo contiene $\frac{(km)^3}{(m^3+n^3)}$ cubos $dn$
• La sustitución puede ser completada debido a $\left\lfloor\frac{k}{n}\right\rfloor^3 \ge \frac{k^3}{(m^3+n^3)}$

El uso de $\mathfrak{L}_{3,2}=35m$ como un ejemplo (este es el mismo Caso de $(n,m) = (3,2)$ anterior).

• Cubo con la longitud de la arista $70$ tienen $\frac{70^3}{35} = 9800$ de cada cubo
• El cubo puede ser llenado con $35^3 = 42,875$ cubos $m$
• $27$ cubos $m$ en sub-cubo con la longitud de la arista $6$ puede ser reemplazado con $8$ cubos $n$
• Esta sustitución debe ser repetido $\frac{35^3}{35} = 1225$ de veces para que el cubo contiene $9800$ cubos $n$
• La sustitución puede ser completada debido a $\left\lfloor\frac{35}{3}\right\rfloor^3 = 11^3 = 1331 \gt 1225$

Answer 3

Pista volumen de $x$ (adecuado número natural) m cara cubica voluntad ser $x.m^3$ ahora que queremos el mismo número de cubos de lado $n$ por lo que su volumen será $x.n^3$ tan volumen total = $x(m^3+n^3)$. Ahora para obtener un cubo perfecto $l=b=h$ .pero nunca podemos conseguir tal cubo como cubos pequeños tienen diferentes caras. Puede hacerse sólo cuando el cubo con el lado mayor se toma en cantidades más pequeñas. También podemos ver que $m^3+n^3$ nunca será un cubo perfecto, por lo que no puede existir tal cubo.