Derivada del volumen de intersección

Question

Sea $K$ sea un cuerpo convexo en $\mathbb{R}^n$ y establece $f:\textrm{SL}(n)\rightarrow \mathbb{R}$ como $f(T)=\textrm{Vol}_n (TB\cap K)$ donde $B$ es la bola unitaria euclidiana. ¿Cómo podemos encontrar los puntos extremos de $f$ ?

Lo que busco es una ampliación de Taylor de $f$ por lo que puedo escribir para matrices como $Q=I_n + \epsilon F$ algo en la línea de $$f(Q)=f(I_n)+\epsilon f'(Q)$$ donde $f'$ es una derivada direccional de algún tipo de $f$ . Creo que debería ser algo como $f'(T)=\textrm{Vol}_{n-1} (\partial TB\cap K)$ pero esto es pura intuición, no estoy seguro de cómo se puede demostrar.

Answer 1

Formalicemos primero la idea de derivadas direccionales de matrices

Las derivadas de matrices variables suelen expresarse como derivadas de Lie. El objeto básico es un grupo de Lie, es decir, una múltiple diferenciable que tiene una estructura de grupo tal que las operaciones de grupo son diferenciables. En nuestro caso se trata del $(n-1)$ -dimensional $SL(n)$ formado por todos los $n\times n$ matrices con determinante $1.$ También son precisamente las transformaciones lineales de $\mathbb R^n$ que conservan el volumen y la orientación.

La teoría de Lie considera $1$ -subgrupos paramétricos: homomorfismos diferenciables del grupo de Lie más simple posible $(\mathbb R,+)$ al grupo Lie objeto de estudio:

$$T:\mathbb R\to SL(n):t\mapsto T_t,\hskip1cm T_{s+t}=T_sT_t.$$

Los derivados en $0$ de todos los subgrupos posibles forman el espacio tangente de la variedad diferenciable en el elemento unitario $T_0=I$ que en este contexto se denomina álgebra de Lie. Nuestra álgebra de Lie se denota ${\mathfrak{sl}(n)}$ y se compone de todos $n\times n$ matrices con traza $0.$

El grupo de un parámetro generado mediante una matriz $A\in\mathfrak{sl}(n)$ viene dada por la correspondencia exponencial

$$\exp:\mathfrak{sl}(n)\to SL(n):A\mapsto\exp(A)=\sum_{i=0}^\infty\frac{A^i}{i!}$$

que responde a tu pregunta sobre una expansión en serie de potencias.

La derivada de $\textrm{Vol}_n (T_tB\cap K)$ se evalúa más fácilmente si sustituimos las funciones indicadoras de los conjuntos compactos $B$ y $K$ con funciones diferenciables $\phi$ y $\psi$ que se aproximan a ellos. Así que estamos buscando en la cantidad

$$V_t=\int_{\mathbb R^n}\phi(T_t^{-1}x)\psi(x)ds$$

Evaluemos la derivada de $V_t$ en $t=0.$

$$\eqalign{ \frac{dV_t}{dt}(t=0)&=\frac{d}{dt}\int_{\mathbb R^n}\phi(T_t^{-1}x)\psi(x)dx\\ &=\int_{\mathbb R^n}\frac{d\phi(T_t^{-1}x)}{dt}\psi(x)dx\\ &=\int_{\mathbb R^n}\nabla\phi\cdot (-A)x\psi(x)dx\\ }$$

En $\phi$ se aproxima al indicador de $K$ su gradiente converge a una distribución concentrada en $\partial K$ y modela la normal hacia dentro $(-n)$ de $K$ (ya que $K$ es convexa su frontera tiene una normal hacia dentro en casi todas partes). Por tanto, tenemos

$$\eqalign{ \frac{dV_t}{dt}(t=0)&=\int_{\partial K\cap B}Ax\cdot n\ dS\\ }$$

Alternativamente, observe que $Ax$ es un campo vectorial sin divergencia (porque la traza de $A$ es $0$ ) por lo que la integral también es igual a

$$\eqalign{ \frac{dV_t}{dt}(t=0)&=\int_{\partial B\cap K}Ax\cdot n\ dS\\ }$$

(la razón por la que estas dos integrales hacen no tienen signos opuestos, como cabría esperar de la integración parcial, es que la interpretación de $n\ dS$ como vector normal hacia el exterior es diferente según si "hacia el exterior" significa fuera de $K$ o fuera de $B$ )

La segunda integral es diferente de tu idea intuitiva, pero hay un gran parecido.

Derivados superiores de $V_t$ no tienen garantizada su existencia sin condiciones adicionales sobre la forma de $K.$ Esto puede entenderse intuitivamente observando que la primera derivada es una integral en la que no sólo el integrando, sino también el área de integración dependen de $t.$ De hecho, la primera derivada no tiene por qué ser una función continua, como puede verse en $2$ dimensiones dejando que $B=B(c=(5;0),r=1),$ $K$ la mitad superior de $B$ y $A=\left(\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right)$ (generador de las rotaciones alrededor del origen).