Estoy buscando una función $\,f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que es diferenciable salvo en un punto $x$ en el que se acerca a infinito. Además, el derivado de $\,f\,$ debe delimitarse en un barrio alrededor de $x$ y no el enfoque infinito como uno de los enfoques de $x$. ¿Hay tal función, o es contradictorio este requisito?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Rob Lachlan
Puntos
7880
No voy a dar una completamente rigurosa prueba, pero estoy apelando a la idea de la derivada de $f$ $x_0$ como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de $(x_0,f(x_0))$.
Hasta la traducción de derecha-izquierda y arriba-abajo, podemos suponer que la $f(0)=0$. Deje $c$ tal que $|f^\prime(x)|<c$ todos los $x>0$ en el componente conectado del dominio de $f$ contiene $0$. A continuación, la gráfica de $f$ debe estar contenida en la región delimitada por las líneas de $y=\pm cx$ y, como tal, no puede ir hasta el infinito en cualquier lugar.
Gudmundur Orn
Puntos
853
No, no es posible. WLOG, se supone que el punto en el que la función es 'infinito' es en 1. A continuación, dentro de un barrio de la 1, la función toma valores arbitrariamente grandes. Ahora, supongamos que en el 0, el valor de la función es $c$. Y supongamos que el límite en el derivado en el plazo de 2 de 1 es $K$.
Entonces el mayor valor posible de la función en 1 es$c + (1-0)K$ -, pero esto es contradictorio, ya que se supone que debe ser infinito.
Así que no es posible que una función de este tipo que existen.
Sam Barnum
Puntos
5019
Supongamos que el punto donde la función no es diferenciable es $0$. Si $\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=\infty$, podemos encontrar un mayor % de secuencia $x_m, x_{m+1}, \ldots $lo $ \lim_{n\rightarrow \infty}x_n = 0$ y $f(x_n)=n$. Ahora dice el teorema del valor medio para todas las $n>m$ hay un $c_n$ tan\begin{equation} \frac{1}{x_{n+1}-x_n}=f'(c_n). \end{equation} esto contradice el hecho de que el derivado está delimitado desde $\lim_{n \rightarrow 0}(x_{n+1}-x_n) =0.$
No es posible. Fijar un número real $y <x$ en el neighbournood de $x$ donde $f^{\prime}$ es limitado. Desde $\lim_{t \to x} f(t) = \infty,$ podemos elegir una secuencia de $(y_n)$ de puntos con $y < y_n < x$ $\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \infty.$ entonces cada $n,$ allí es (por el teorema del valor medio) y un $u_n \in (y,y_n)$ $f^{\prime}(u_n) = \frac{f(y_n) - f(y)}{y_n - y} > \frac{f(y_n) - f(y)}{x-y}.$ por lo tanto tenemos $f^{\prime}(u_n) \to \infty$ $n \to \infty,$ una contradicción, ya que cada $u_n$ es en el barrio elegido para cada $n.$
