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¿Existe una función diferenciable que se acerca a infinito, pero tiene un acotado derivado?

Estoy buscando una función $\,f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que es diferenciable salvo en un punto $x$ en el que se acerca a infinito. Además, el derivado de $\,f\,$ debe delimitarse en un barrio alrededor de $x$ y no el enfoque infinito como uno de los enfoques de $x$. ¿Hay tal función, o es contradictorio este requisito?

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Rob Lachlan Puntos 7880

No voy a dar una completamente rigurosa prueba, pero estoy apelando a la idea de la derivada de $f$ $x_0$ como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de $(x_0,f(x_0))$.

Hasta la traducción de derecha-izquierda y arriba-abajo, podemos suponer que la $f(0)=0$. Deje $c$ tal que $|f^\prime(x)|<c$ todos los $x>0$ en el componente conectado del dominio de $f$ contiene $0$. A continuación, la gráfica de $f$ debe estar contenida en la región delimitada por las líneas de $y=\pm cx$ y, como tal, no puede ir hasta el infinito en cualquier lugar.

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Gudmundur Orn Puntos 853

No, no es posible. WLOG, se supone que el punto en el que la función es 'infinito' es en 1. A continuación, dentro de un barrio de la 1, la función toma valores arbitrariamente grandes. Ahora, supongamos que en el 0, el valor de la función es $c$. Y supongamos que el límite en el derivado en el plazo de 2 de 1 es $K$.

Entonces el mayor valor posible de la función en 1 es$c + (1-0)K$ -, pero esto es contradictorio, ya que se supone que debe ser infinito.

Así que no es posible que una función de este tipo que existen.

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Sam Barnum Puntos 5019

Supongamos que el punto donde la función no es diferenciable es $0$. Si $\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=\infty$, podemos encontrar un mayor % de secuencia $x_m, x_{m+1}, \ldots $lo $ \lim_{n\rightarrow \infty}x_n = 0$ y $f(x_n)=n$. Ahora dice el teorema del valor medio para todas las $n>m$ hay un $c_n$ tan\begin{equation} \frac{1}{x_{n+1}-x_n}=f'(c_n). \end{equation} esto contradice el hecho de que el derivado está delimitado desde $\lim_{n \rightarrow 0}(x_{n+1}-x_n) =0.$

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Geoff Robinson Puntos 17610

No es posible. Fijar un número real $y <x$ en el neighbournood de $x$ donde $f^{\prime}$ es limitado. Desde $\lim_{t \to x} f(t) = \infty,$ podemos elegir una secuencia de $(y_n)$ de puntos con $y < y_n < x$ $\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \infty.$ entonces cada $n,$ allí es (por el teorema del valor medio) y un $u_n \in (y,y_n)$ $f^{\prime}(u_n) = \frac{f(y_n) - f(y)}{y_n - y} > \frac{f(y_n) - f(y)}{x-y}.$ por lo tanto tenemos $f^{\prime}(u_n) \to \infty$ $n \to \infty,$ una contradicción, ya que cada $u_n$ es en el barrio elegido para cada $n.$

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